小题专题练(四) 立体几何
一、选择题
1．如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，点M在EF上且AM∥平面BDE，则M点的坐标为( )
A．(1，1，1) C.?
22?，，1 2?2?
B.?
22?
，，1 3?3?22?，，1 4?4?
D.?
2．(2019·贵阳模拟)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下面四个命题：
①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；
②若α⊥β，m?α，n?β，则m⊥n； ③若m∥α，n?α，则m∥n；
④若α∥β，γ∩α＝m，γ∩β＝n，则m∥n. 其中正确命题的序号是( ) A．①④ C．②③④
B．①② D．④
3．已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝3，AD＝1，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为( )
A.C.6
42 6
B.D.6 33 6
4．设α，β是两个不同的平面，l是直线且l?α，则“α∥β”是“l∥β”的( ) A．充分而不必要条件 B．充要而不充分条件 C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°(如图)，若将△ABC绕直线BC旋转一周，则形成的旋转体的体积是( )
9πA. 25πC. 2
6．三棱锥A-BCD中，AB，BC，CD两两垂直，被称为“三节棍”．由该棱锥所有相邻的两个面组成的二面角中，直二面角共有( )
A．2个 C．4个
B．3个 D．5个 7πB. 23πD. 2
7．(2019·郑州市第一次质量预测)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为等腰直角三角形，AB⊥AC，点M，N分别是边AB1，A1C上的动点，若直线MN∥平面BCC1B1，点Q为线段MN的中点，则点Q的轨迹为( )
A．双曲线的一支(一部分) B．圆弧(一部分) C．线段(去掉一个端点) D．抛物线的一部分
8．《九章算术·商功》：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尽……”，所谓“堑堵”，就是两底面为直角三角形的棱柱，如图所示的几何体是一个“堑堵”，AA1⊥平面ABC，AB＝BC＝4，AA1＝5，M是A1C1的中点，过点B，C，M的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，则该三棱台的表面积为( )
A．40 B．50
C．25＋152＋329 D．30＋202
9．如图，已知三棱锥P-ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，AB＝2AC，93若三棱锥P-ABC的体积为，则球O的表面积为( )
16
A．9π C．16π
32πB.
39πD. 2
10．(2019·郑州市第二次质量预测)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝DD1＝1，AB＝3，E，F，G分别是棱AB，BC，CC1的中点，P是底面ABCD内一动点，若直线D1P与平面EFG没有公共点，则△PBB1面积的最小值为( )
A.C.3
23 4
B．1 1D. 2
11．(多选)已知m，n是不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题错误的是( ) A．若m?α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若α∩β＝n，m∥n，则m∥α且m∥β D．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
12．(多选)如图，AC＝2R为圆O的直径，∠PCA＝45°，PA垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A，C重合的点，AS⊥PC于S，AN⊥PB于N，则下列选项正确的是( )
A．平面ANS⊥平面PBC B．平面ANS⊥平面PAB C．平面PAB⊥平面PBC D．平面ABC⊥平面PAC
13．(多选)如图，正三棱柱ABC-A1B1C1各棱的长度均相等，D为AA1的中点，M，N分别是线段BB1和线段CC1上的动点(含端点)，且满足BM＝C1N，当M，N运动时，下列结论中正确的是( )
A．在△DMN内总存在与平面ABC平行的线段 B．平面DMN⊥平面BCC1B1 C．三棱锥A1-DMN的体积为定值 D．△DMN可能为直角三角形 二、填空题
14．(2019·湖南省湘东六校联考)一个正四面体的侧面展开图如图所示，点G为BF的中点，则在该正四面体中，直线EG与直线BC所成角的余弦值为________．
15．已知半径为1的球O中内接一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与圆柱的体积的比值为________．
16．一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为2，如果任意转动该正方体容器，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围为____________．
17．(2019·贵州遵义第一次联考改编)已知三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，且SA＝6，AB＝4，BC＝23，∠ABC＝30°，则该三棱锥的体积为________，其外接球的表面积为________．
小题专题练(四) 立体几何
1．解析：选A.由两平面平行的性质定理可知充分性满足，但必要性不满足．
2.解析：选D.依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，所以3π1
OA＝3，OB＝1，所以旋转体的体积为π·(3)2·(OC－OB)＝.
32
3．解析：选C.因为点M在EF上，设ME＝x，
所以M?
22? x，x，1，因为A(2，2，0)，D(2，0，0)，E(0，0，1)，B(0，2，0)，
2?2?
→→
所以ED＝(2，0，－1)，EB＝(0，2，－1)， 22→
AM＝?x－2，x－2，1?.
2?2?设平面BDE的法向量n＝(a，b，c)， →?ED＝0，?n·2
由?得a＝b＝c.
2→?EB＝0，?n·
故可取平面BDE的一个法向量n＝(1，1，2)． 22→
因为n·AM＝0，所以x＝1，所以M?，，1?.
?22?
4．解析：选D.对于①，同垂直于一个平面的两个平面可能相交，命题①错误；对于②，在两个互相垂直的平面内的两条直线可能互相平行，可能相交，也可能异面，命题②错误；对于③，直线m与n可能异面，命题③错误；对于④，由面面平行的性质定理知命题④正确．故正确命题的序号是④，选D.
5．解析：选A.如图，连接A1D，A1C1，由题易知B1C∥A1D，所以∠C1DA1是异面直线B1C与C1D所成的角，又AA1＝AB＝3，AD＝1，所以A1D＝2，DC1＝6，A1C1＝2，由余弦C1D2＋A1D2－A1C261
定理，得cos∠C1DA1＝＝，故选A.
42×C1D×A1D
6．解析：选B.由AB⊥平面BCD，且AB?平面ABD，AB?平面ABC，得平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD.又CD⊥平面ABC，CD?平面ACD，故平面ACD⊥平面ABC，所以A-BD-C，A-BC-D，D-AC-B都是直二面角. 故选B.
7.解析：选C.如图，分别取AA1，B1C的中点E，F，任意作一个与平面BCC1B1平行的平面α与AB1，A1C分别交于M，N，则MN∥平面BCC1B1.由题意知△ABC为等腰直角三角形，AB⊥AC，则侧面AA1B1B与侧面AA1C1C是两个全等的矩形，且这两个侧面关于过棱AA1与平面BCC1B1垂直的平面是对称的，因此EF必过MN的中点Q，故点Q的轨迹为线段EF，但需去掉端点F，故选C.
8．解析：选C.如图所示，记A1B1的中点为N，连接MN，则MN∥BC，所以过点B，C，M的平面为平面BNMC，三棱台为A1MN-ACB，所以
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