(全国通用版)2020高考数学二轮复习 中档大题规范练(四)立体几何与空间向量 理

2019年

则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)， →

AC＝(0,2,0)，BC ＝(－2,2,0)，

由∠PBA＝45°，PB＝2，可得P(1,0,1)， →→

所以AP＝(1,0,1)，BP＝(－1,0,1)， 假设棱PA上存在点E，

使得直线CE与平面PBC所成角的正弦值为设

6， 9

→

AE＝λ(0<λ<1)， AP→→→→→

则AE＝λAP＝(λ，0，λ)，CE＝AE－AC＝(λ，－2，λ)， 设平面PBC的法向量n＝(x，y，z)， →??n·BC＝0，

则?

→??n·BP＝0，

??－2x＋2y＝0，

即???－x＋z＝0，

令z＝1，可得x＝y＝1，

所以平面PBC的一个法向量n ＝(1,1,1)， 设直线CE与平面PBC所成的角为θ，则 →

sin θ＝ |cos〈n，CE〉| ＝

6＝， 2

3·2λ＋49|2λ－2|

|λ－2＋λ|3·λ＋?－2?＋λ2

2

2

＝

17

解得λ＝或λ＝(舍)．

24所以在棱PA上存在点E，且

AE1

＝， AP2

6. 9

使得直线CE与平面PBC所成角的正弦值为