2005年河南省普通高等学校
选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试
高等数学试卷
题号 分数 得分 一 二 三 四 五 六 总分 核分人 一、单项选择题（每小题2分，共计60分） 在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题 干后面的括号内。不选、错选或多选者，该题无分. ln(x?1)1.函数y?的定义域为为（）
5?xA.x?1B.x?5C.1?x?5D.1?x?5
?x?1?0解：??1?x?5?C.
5?x?0?2.下列函数中,图形关于y轴对称的是（）
评卷人 A．y?xcosxB.y?x3?x?1
2x?2?x2x?2?xC.y?D.y?
222x?2?x解：图形关于y轴对称,就是考察函数是否为偶函数,显然函数y?为
2偶函数,应选D.
3.当x?0时，与ex?1等价的无穷小量是（） A.xB.x2C.2xD.2x2
解：ex?1~x?ex?1~x2,应选B.
22?2?4.lim?1???（） n???n?A.eB.e2C.e3D.e4
?2?解：lim?1??n???n?n?1n?1?2??lim?1??n???n?n2(n?1)?2n??2????lim?1????n???n????n22(n?1)n??nlim?e2,应选B.
?1?1?x,x?0?5.设f(x)??在x?0处连续，则常数a?（） x?a,x?0?11A.1B.-1 C.D.?
221?1?xx11?lim?lim?,应选C.
x?0x?0x?0xx(1?1?x)x?0(1?1?x)2f(1?2h)?f(1)16.设函数f(x)在点x?1处可导,且lim?,则f?(1)?（）
h?0h2111A.1B.?C.D.?
244f(1?2h)?f(1)f(1?2h)?f(1)11解：lim??2lim??2f?(1)??f?(1)??,
h?0?2h?0h?2h24应选D.
dx7.由方程xy?ex?y确定的隐函数x(y)的导数为（）
dyx(y?1)y(x?1)y(1?x)x(y?1)A.B.C.D. y(1?x)x(1?y)x(y?1)y(x?1)解：limf(x)?lim解：对方程xy?ex?y两边微分得xdy?ydx?ex?y(dx?dy),
即(y?ex?y)dx?(ex?y?x)dy,
(y?xy)dx?(xy?x)dy,
所以
dxx(y?1),应选A. ?dyy(1?x)8.设函数f(x)具有任意阶导数,且f?(x)?[f(x)]2，则f(n)(x)?（） A.n[f(x)]n?1B.n![f(x)]n?1
C.(n?1)[f(x)]n?1D.(n?1)![f(x)]n?1
[f(x)]4, 解：f??(x)?2f(x)f?(x)?2[f(x)]3?f???(x)?2?3f2(x)f?(x)?3！???f(n)(x)?n![f(x)]n?1,应选B.
9.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是（） A.f(x)?1?x2,[?1,1]B.f(x)?xe?x,[?1,1]
1C.f(x)?,[?1,1]D．f(x)?|x|,[?1,1]
1?x2解：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等来确定,只有f(x)?1?x2,[?1,1]满足,应选A.
1
10.设f?(x)?(x?1)(2x?1),x?(??,??),则在(,1)内,f(x)单调()
2
A.增加,曲线y?f(x)为凹的B.减少,曲线y?f(x)为凹的 C.增加,曲线y?f(x)为凸的D.减少,曲线y?f(x)为凸的
1
解:在(,1)内,显然有f?(x)?(x?1)(2x?1)?0,而f??(x)?4x?1?0,故函数
21f(x)在(,1)内单调减少,且曲线y?f(x)为凹的,应选B.
211.曲线y?e（）
A. 只有垂直渐近线B.只有水平渐近线
C.既有垂直渐近线，又有水平渐近线，D.无水平、垂直渐近线 解：limy?1?y?1;lim?y???x?0，应选C.
x???x?0?1x?x?acostd2y12.设参数方程为?,则二阶导数2?（）
dx?y?bsintbbA.B. ?223asintasintbbC.D. ?acos2ta2sintcos2tdyyt?bcostd2y?bcost???bcost??dt解：????2?????????
dxxt?asintdx?asint?x?asint?tdxb1b,应选B. ????223?asintasintasint13.若?f(x)edx?e?C，则f(x)?（）
A.?1x1x1111B.?2C.D.2 xxxx1x1x解：两边对x求导f(x)e?e?(?11)?f(x)??,应选B. x2x214.若?f(x)dx?F(x)?C，则?cosxf(sinx)dx?（）
A.F(sinx)?CB.?F(sinx)?C C.F(cosx)?CD.?F(cosx)?C
解:?cosxf(sinx)dx??f(sinx)d(sinx)?F(sinx)?C,应选A. 15.下列广义积分发散的是（）
1??????lnx11?xdxeA.?B.C.D.dxdx?01?x2?0dx ?ex01?x2???11?11??dx?arcsinx?解：?;; dx?arctanx?0001?x222?01?x2?1?1??elnx1dx?(lnx)2x2??e??;?e?xdx??e?x0????0?1,应选C.
16.?x|x|dx?（）
242A.0B.C.D.?
333解：被积函数x|x|在积分区间[-1,1]上是奇函数,应选A.
17.设f(x)在[?a,a]上连续,则定积分?f(?x)dx?（）
?aaA.0B.2?f(x)dxC.??f(x)dxD.?f(x)dx
0?aaaa?a解：?f(?x)dx?????aat??u?aaf(u)d(?u)??f(u)du??f(x)dx,应选D.
?a?aaa18.设f(x)的一个原函数是sinx,则?f?(x)sinxdx?（）
1111A.x?sin2x?CB.?x?sin2x?C 222411C.sin2xD.?sin2x?C 22解:(sinx)??f(x)?f(x)?cosx?f?(x)??sinx
1?cos2x112?f(x)sinxdx??sinxdx??dx??x?sin2x?C,应选B. ???22419.设函数f(x)在区间[a,b]上连续,则不正确的是（）
A.?f(x)dx是f(x)的一个原函数B.?f(t)dt是f(x)的一个原函数
aabxC.?f(t)dt是?f(x)的一个原函数D.f(x)在[a,b]上可积
xa解:?f(x)dx是常数,它的导数为零,而不是f(x),即?f(x)dx不是f(x)的原
aabb函数,应选A.
x?3yz?220.直线与平面x?y?z?1?0的关系是（） ??1?12A.垂直B.相交但不垂直C.直线在平面上D.平行
????解：s?{1,?1,2},n?{1,?1,?1)?s?n,另一方面点(3,0,?2)不在平面内,所以应为平行关系,应选D..
?z?z21.函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数和存在是它在该点处
?y?x可微的（）
A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.无关条件
解：两个偏导数存在,不一定可微,但可微一定有偏导数存在,因此为必要条件,应选B.
2x22.设z?ln，则dz(1,2)?（）
yy1111A.dxB.dx?dyC.dx?dyD.dx?dy 2x222212x11解：z?ln?ln2x?lny?dz?dx?dy?dz(1,2)?dx?dy,应选C.
yxy223.函数f(x,y)?x2?xy?y2?x?y?1的极小值点是（） A.(1,?1)B.(?1,1)C.(?1,?1)D.(1,1)
??z?2x?y?1?0???x解：??(x,y)?(?1,1),应选B.
?z??x?2y?1?0???y24.二次积分?dx?f(x,y)dy写成另一种次序的积分是（）
002x2A.?dy?042y2f(x,y)dxB.?0dy?04024yf(x,y)dx f(x,y)dx
C.?40dy?2f(x,y)dxD.?dy?xy解：积分区域D?{(x,y)|0?x?2,0?y?x2}?{(x,y)|0?y?4,y?x?2},
应选A.
25.设D是由上半圆周y?2ax?x2和x轴所围成的闭区域,则
??f(x,y)d??（）
DA.?d??C.?d???20?202a0f(rcos?,rsin?)rdrB.?d??f(rcos?,rsin?)dr
0?202a2acos?0f(rcos?,rsin?)rdrD.?d???202acos?0f(rcos?,rsin?)dr
π,0?r?2acosθ}，2解：积分区域在极坐标下可表示为：D?{(r,θ)|0?θ?从而??f(x,y)d??D??20d??2acos?0f(rcos?,rsin?)rdr，应选C.
L226.设L为抛物线y?x2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧，（） 2xydx?xdy??A.-1B.1 C.2D.-1
?x?x解：L：?,x从0变到1, 2y?x??L2xydx?x2dy??2x3dx?2x3dx??4x3dx?x4001110?1,应选B.
27.下列级数中，条件收敛的是（） ??n1nA．?(?1)B．?(?1)n
23n?1n?1n?1n?1(?1)nC．?(?1)2D．?
n(n?1)nn?1n?1?n???n(?1)n1n1解：?(?1)发散,?(?1)2和?绝对收敛，?(?1)n是收敛
23n(n?1)n?1nn?1n?1n?1n?1n??211的，但?是p?的级数发散的，从而级数?(?1)n条件收敛，应选B.
22333n?1n?1nn?n28.下列命题正确的是（）
A．若级数?un与?vn收敛，则级数?(un?vn)2收敛
n?1????n?1?n?1?22?vn)收敛 B．若级数?un与?vn收敛，则级数?(unn?1n?1n?1C．若正项级数?un与?vn收敛，则级数?(un?vn)2收敛
n?1???n?1n?1D．若级数?unvn收敛，则级数?un与?vn都收敛
n?1n?1???n?12解：正项级数?un与?vn收敛??u与?vn收敛，
2nn?1????n?12nn?1n?1而(un?vn)?2(u?v)，所以级数?(un?vn)2收敛，应选C。
22n?n?129.微分方程(x?2y)y??2x?y的通解为（） A.x2?y2?CB.x?y?C
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