则??D22xx2x212dxdy?dxdy?x(?)dx 1?1?xy2?1y1y2xx?x4x2?9?????. ?4?2?14?2(?1)n2n?11 . x7．求幂级数?的收敛域（考虑区间端点）n?02n?1图05-2
解：这是缺项的标准的幂级数，
un?1(?1)n?1x2n?32n?12n?12因为ρ?lim?lim??xlim?x2， n2n?1n??un??n??2n?32n?3(?1)xn?当ρ?1，即?1?x?1时，幂级数绝对收敛； 当ρ?1，即x?1或x??1时，幂级数发散； 当ρ?1，即x??1时，
(?1)n若x?1时，幂级数化为?是交错级数，满足来布尼兹定理的条件，
2n?1n?0?(?1)n?1是收敛的，若x??1时，幂级数化为?也是交错级数，也满足来布尼兹
2n?1n?0定理的条件，是收敛的.
故幂级数的收敛域为[-1,1].
8．求微分方程(x2?1)y??2xy?cosx?0通解.
2xcosx解：微分方程可化为y??2，这是一阶线性非齐次微分方程，y?2x?1x?12xC它对应的齐次线性微分方程y??2. y?0的通解为y?2x?1x?1C?(x)2xC(x)C(x)?2设非齐次线性微分方程的通解为y?2，则y??2，代入2x?1(x?1)x?1方程得C?(x)?cosx,所以C(x)?sinx?C.
sinx?C故原微分方程的通解为y?(C为任意常数). 2x?1四、应用题（每小题7分，共计14分） 得评卷人 1.一房地产公司有50套公寓要出租,当月租金定为2000元分 时,公寓会全部租出去,当月租金每增加100元时,就会多一套公
寓租不出去,而租出去的公寓每月需花费200元的维修费.试问
租金定为多少可获得最大收入?最大收入是多少?
解：设每套公寓租金为x元时,所获收入为y元,
x?2000则y?[50?](x?200),(x?2000),
1001(?x2?7200x?1400000), 整理得y?1001y??(?2x?7200)均有意义,
100?令y??0得唯一可能的极值点x?3600,而此时y????1?0,所以x?360050是使y达到极大值的点,即为最大值的点.
3600?2000最大收入为y?[50?](3600?200)?34?3400?115600(元).
100故租金定为每套3600元时,获得的收入最大,最大收入为115600元.
1
2.平面图形由抛物线y2?2x与该曲线在点(,1)处法线所围成,试求:
2
(1)该平面图形的面积;
(2)该平面图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积.
1解：平面图形如图05-3所示,切点A(,1)处的切线斜率为k?y?x?1,
221由y2?2x得y??,故A点处的切线斜率
yk?y?x?1?y?y?1?1,
2从而A点处的法线斜率为-1,
1 3法线方程为x?y??0.
2?y2?2x9?-3 联立方程组?得另一交点B(,?3). 32?x?y??02?图05-3
(1)把该平面图形看作Y型区域,其面积为
?3y2?3y2y316S???(?y)??dy?(y??)?;
?32?226?33?2(2)根据抛物线的对称性知,该平面图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积等于平面图形OBC绕x轴旋转所成旋转体的体积,有
113故Vx?π?2xdx?π?(?x)2dx?πx292092329220931?π(x?x2?x3)
3423292?π[得分 8145?9]?π. 44五、证明题（6分） 评卷人 11?x1?ln?. 1?xxx??)内连续， 证明：构造函数f(x)?lnx，它在(0，1当x?0时，函数在区间[x,1?x]上连续，且f?(x)?.
x试证：当x?0时，有
故f(x)在[x,1?x]上满足Lagrange中值定理,存在ξ?(x,x?1), 使得f(1?x)?f(x)?f?(ξ)，(x?ξ?x?1).
而
11111?ln(1?x)?lnx?, ?f?(ξ)??,故有
1?xξx1?xx即x?0时,
11?x1?ln?成立. 1?xxx
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