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数列高考复习 (附参考答案) ———综合训练篇
一、选择题：
1． 在等差数列?an?中，a1?3a8?a15?120，则2a9?a10的值为 （ D ）
A．18
B．20
C．22
D．24
2．等差数列?an?满足：a1?a3?8,S5?30，若等比数列?bn?满足b1?a1,b3?a4,则b5为（ B ） A．16
B．32
C．64
D．27
3．等差数列?an?中,a1?a4?a7?39,a3?a6?a9?27,则数列?an?的前9项之和S9等于 （ C）A．66
B．144
C．99
D．297
4．各项都是正数的等比数列?an?的公比q≠1，且a2，
a?a41为（A ） a3，a1成等差数列，则3a4?a52A．
1?55?15?15?15?1 B． C． D．或
222225.设等比数列?an?的前n项和为Sn，若
A. 2 B.
S6S?3,则9?（ B ） S3S687 C. D.3
336．已知等差数列?an?的前n项的和为Sn，且S2?10，S5?55，则过点P(n,an)和
Q(n?2,an?2)(n?N?)的直线的一个方向向量的坐标是 ( B )
11,?2) C.(?,?1) D.(?1,?1) 22111ac7．设a、b、c为实数,3a、4b、5c成等比数列,且、、成等差数列，则?的值为（ C ）
abcca94943434A． B．? C． D．?
15151515A.(2,) B.(?12?2?8． 已知数列?an?的通项an????3?n?1??2?n?1?????1?,则下列表述正确的是 ( A ) ????3??A．最大项为a1,最小项为a3 B．最大项为a1,最小项不存在 C．最大项不存在，最小项为a3 D．最大项为a1,最小项为a4
9.已知?an?为等差数列，a1+a3+a5=105，a2?a4?a6=99.以Sn表示?an?的前n项和，则使得Sn达
1
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到最大值的n是（B） A．21 B．20 C．19 D．18
9．一系列椭圆都以一定直线l为准线，所有椭圆的中心都在定点M，且点M到l的距离为2，若这
一系列椭圆的离心率组成以
31为首项，为公比的等比数列，而椭圆相应的长半轴长为ai=(i=1，43－
2，…，n)，设bn=2（2n+1）·3n2·an，且Cn=
1
，Tn=C1+C2+…+Cn，若对任意n∈N*，bnbn?1
（ B ）
D．9
总有Tn>
A．3
m恒成立，则m的最大正整数为 90B．5
C．6
二、填空题：
10．已知等差数列?an?前n项和Sn=－n2+2tn，当n仅当n=7时Sn最大，则t的取值范围是 (6.5，7.5) .
?n11． 数列?an?的通项公式是an???n2??2(n为奇数)(n为偶数)，则数列的前2m（m为正整数）项和是 2m+1+m2
－2 .
?12．已知数列{an}满足：a4n?3?1,a4n?1?0,a2n?an,n?N,则a2009?________；
a2014=_________.
【答案】1，0
【解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型.
依题意，得a2009?a4?503?3?1，a2014?a2?1007?a1007?a4?252?1?0.
∴应填1，0.
13．在数列?an?和?bn?中，bn是an与an+1的等差中项，a1 = 2且对任意n?N*都有 3an+1－an = 0，则数列{bn}的通项公式 bn?14． 设P1，P2，…Pn…顺次为函数y?4 . 3n像的均的式
1(x?0)图x上的点（如图），Q1，Q2，…Qn…顺次为x轴上点，且?OP1Q1,?O1P2Q2,??Qn?1PnQn，…，为等腰直解三角形（其中Pn为直角顶点）.设Qn坐标为（xn,0)(0?N*)，则数列{an}的通项公为 xn?2nn?N*) .
三、解答题：
2
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15．已知{an}是等比数列，Sn是其前n项的和，a1，a7，a4成等差数列，求证：2S3，S6，S12－S6，成等比数列.
363615. [解法1]由已知a1?a4?2a7,a1?a1q?2a1q,?1?q?2q.………………（2分）
当q?1时,2S3(S12?S4)?2S3(a7?a3??a12)?2S4(a1q6?a2q6?a6q6)?2S3S6q6
…………（4分）
a1(1?q3)a1(1?q6)?(1?q)S3S6?(1?q)??S6??S6?S62.………………（8分）
1?q1?q382当q?1时,S3?3a1,S6?6a1,S12?S6?6a1,同样有2S3(S12?S6)?S6,……（10分）
所以，2S3,S6,S12?S6成等比数列.………………………………………………（12分）
3636[解法2]由已知a1?a4?2a7,a1?a1q?2a1q,?1?q?2q，……………（2分） 2当q?1时,2S2(S12?S4)?2?3a1(12a3?a1)?36a3,
222S6?(6a1)2?36a3.?2S2(S12?S6)?S6.?2S3,S6,S12?S6成等比数列.…（6分）
S611?q61136时,???(1?q)??2q,…………………………（8分） 当q?132S321?q22∴2S3,S6,S12?S6成等比数列.……………………………………………………（11分） 综上，2S3,S6,S12?S6成等比数列.………………………………………………（12分）
16.已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意自然数n总有Sn?p(an?1),(p为常数，且
p?0,p?1),数列{bn}中有bn?2n?q(q为常数）。
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若a1?b1,a2?b2求p的取值范围。 16．解：（1）a1?S1?p(a1?1)解得a1?p(p?0,p?1) p?1当n?2时，an?Sn?Sn?1?p(an?an?1)整理得(p?1)an?pan?1 故
anp?(n?2,n?N?,p?0,p?1) …………4分 an?1p?13
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由a1?app,n? p?1an?1p?1ppn?1pn()?()(n?N?)………………………………6分 p?1p?1p?1得an??p?p?1?2?qp2p?（2）由已知得?消去q并整理得()??2?0
pp?1p?1?()2?4?q??p?1则?1?p?2 p?1有p?又
1或p?2 ………………………………9分 21p?0,?p的取值范围为(??,0)?(0,)?(2,??)………………12分
216.新星家俱厂开发了两种新型拳头产品，一种是模拟太空椅，一种是多功能办公桌.2005年该厂生
产的模拟太空椅获利48万元，以后它又以上年利润的1.25倍的速度递增；而多功能办公桌在
同年获利75万元，这个利润是上年利润的
4，以后每年的利润均以此方式产生. 预期计划若干5年后两产品利润之和达到174万元. 从2005年起， （I）哪一年两产品获利之和最小？
（II）至少经过几年即可达到或超过预期计划？
解：（?）设第n年太空椅获利xn万元，办公桌获利yn万元......(1分）16．
5n?14则xn?48（），yn?75()n?1....................................................(3分)
45 45n?1?xn?yn?48（）?75()n?1?120（当且仅当n?2时取“?”）（5分）45544554 故第2006年两产品获利最小.……………………………………………………（6分）
n?1n?1 （II）令xn?yn?48（）?75()n?1?174，又令t?（）,则有
16t?25?58，t251或t?(舍)82?16t2?58t?25?0?t? 5n?125?（）?........................................................................................（9分）485n?1625255n?1312525当n?5时，（）??.、；当n?6时，（）??，425684102485n?11562525当n?7时，（）??.440968故至少经过7年即可超过预期计划.…………………………………………（1分）
4
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