线性代数习题答案

第一章 行列式

1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：

2（1）

081bb221?11c13； （4）

abc

1?11?4?1； （2）bcacabxyx?y1yx?yxx?yxy.

（3）

aa2c208解 （1）

?4?1?2?(?4)?3?0?(?1)?(?1)?1?1?8

3?0?1?3?2?(?1)?8?1?(?4)?(?1) =?24?8?16?4 =?4

abc（2）

bcca?acb?bac?cba?bbb?aaa?ccc ?3abc?a3?b3?c3

ab1（3）

1bb21c?bc2?ca2?ab2?ac2?ba2?cb2 c2?(a?b)(b?c)(c?a)

aa2x（4）

yx?yxx?yxy

yx?y?x(x?y)y?yx(x?y)?(x?y)yx?y3?(x?y)3?x3 ?3xy(x?y)?y3?3x2y?3y2x?x3?y3?x3 ??2(x3?y3)

2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … (2n?1) 2 4 … (2n)； （6）1 3 … (2n?1) (2n) (2n?解（1）逆序数为0

1

2) … 2.

（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2

（3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为

n(n?1)： 23 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … (2n?1) 2，(2n?1) 4，(2n?1) 6，…，(2n?1) (2n? (n?1)个

（6）逆序数为n(n?1)

3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … (2n?1) 2，(2n?1) 4，(2n?1) 6，…，(2n?1) (2n? (n?1)个

2)

2)

4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… …

(2n) 2，(2n) 4，(2n) 6，…，(2n) (2n?2) (n?1)个

3.写出四阶行列式中含有因子a11a23的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为

(?1)ta1p1a2p2a3p3a4p4，其中t为p1p2p3p4的逆序数．由于p1?1,p2?3

已固定，

p1p2p3p4只能形如13□□，即1324或1342.对应的t分别为

0?0?1?0?1或0?0?0?2?2

??a11a23a32a44和a11a23a34a42为所求.

125120211?1??； 2??2?00?10?? c1???1d?

4.计算下列各行列式：

?4?1（1）??10??04??214?3?122??； （2）??1230???7??5061?a?abacae????1b??； （4）??cdde（3）bd???0?1?cf?ef???bf?0?0解

41124202c2?c3(1)

10520c4?7c30

1174?112103002?1002

2?14102

4=

?1?1023?1232?(?1)4?3 ?1410?214c2?c3c1?c3121104909010?2=0 14=

1101717

2(2)

1241322151204030

3?121c4?c23?12215062214012213040aede?ef=adf

6221401020ee?e

r4?r23?122r4?r13?1223000=0

?ab(3)

ac?cdcf?bbb=4abcdef

c?ccbdbf?1=adfbce1?1111?111

a(4)

1b?1001c01001?abb?1a1c001

?1000r1?ar2?1?1d00?1d1?aba01?abaadc3?dc22?1?1c1 ?1c1?cd=(?1)(?1)0?1d0?10=(?1)(?1)

5.证明:

3?2

1?abad=abcd?ab?cd?ad?1

?11?cd 3

a2(1)

ab1b21ay?bzaz?bxax?byaz?bxay?bzxzyzxzxy;

2aa?b2b=(a?b)3; 1ax?by(2)

ay?bzaz?bxax?by=(a3?b3)ya2(3)

(a?1)2(b?1)2(c?1)(d?1)22(a?2)2(b?2)2(c?2)(d?2)22(a?3)2(b?3)2(c?3)(d?3)22b2cd22?0;

1(4)

1bb21cc21dd2aa2

a4b4c4d4?(a?b)(a?c)(a?d)(b?c)(b?d)?(c?d)(a?b?c?d); x?10?000(5)?0an证明

x?0an?1?1?0an?2????0?xa20??xn?a1xn?1???an?1x?an. ?1x?a1(1)左边?c2?c1a2ab?a2b?a0b2?a22b?2a0

2ac3?c113?1ab?a2b2?a2 ?(?1)b?a2b?2aab?a?(a?b)3?右边 ?(b?a)(b?a)12xay?bzaz?bxyay?bzaz?bx按第一列左边ayaz?bxax?by ?bzaz?bxax?by(2)

分开zax?byay?bzxax?byay?bz分别再分2ayaz?bxz

xay?bzzyyxzyaz?bx

x?0?0?bzxax?byay?bzax?by4

分别再分xa3yzzyyzxxzzyyzxyxzzxyxy zx?b3zx?a3yzyzxx?b3yx(?1)2?右边 ya2(3) 左边?a2?(2a?1)(a?2)2b2?(2b?1)2(a?3)2(b?3)2(c?3)(d?3)22b2cd2a22(b?2)22c?(2c?1)(c?2)d2?(2d?1)(d?2)22a?14a?46a?92b?14b?46b?92c?14c?46c?92d?14d?46d?9

c2?c1b2c3?c1c2c4?c1d2

a2按第二列b222分成二项cd2abcd4a?46a?94b?46b?94c?46c?94d?46d?9acd494949?a2b2cd22a2?b2cd2214a?46a?914b?46b?914c?46c?914d?46d?96a6b6c6d?0

c3?4c2a2第一项c4?6c2b2c3?4c2c第二项c4?9c2d2214a14b14c14db491(4) 左边0b?ab?a2220c?ac?a220d?ad?a2?aa2

a4b4?a4c4?a4d4?a4b?ac?ad?a22c2?a2d2?a2 =b?ab2(b2?a2)c2(c2?a2)d2(d2?a2)1=(b1c?a1d?a

?a)(c?a)(d?a)b?ab2(b?a)c2(c?a)d2(d?a)=(b?a)(c?a)(d?a)?

5