高考数学二轮复习 概率、随机变量及其分布专题训练(含解析)

【状元之路】2015版高考数学二轮复习 概率、随机变量及其分布专题

训练（含解析）

一、选择题

1．已知某一随机变量ξ的分布列如下，且E(ξ)＝6.3，则a的值为( )

ξ P A.5 C．7

4 0.5 a 0.1 B．6 D．8

9 b 解析 由分布列性质知：0.5＋0.1＋b＝1，所以b＝0.4，所以E(ξ)＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3，所以a＝7.

答案 C

2．如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1,2,3,4中的任何一个，允许重复，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为( )

A 1A. 23C. 4

B 1B. 43D. 8

4

解析 根据题意，在图中的四个方格中填入数字的方法种数共有4＝256种，对于A，B两个方格，可在1,2,3,4中任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格，有C4＝6种情况，

对于另外两个方格，每个方格有4种情况，则共有4×4＝16种情况，则填入A方格的数字大于

2

B方格的数字的不同的填法共有16×6＝96种，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为P963＝＝. 2568

答案 D

3．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则使关于x的一元二次方程x－x＋a＝0无实根的概率为( )

1A. 23C. 4

1B. 42D. 3

2

122

解析 关于x的方程x－x＋a＝0无实根，∴Δ＝1－4a<0，则a>，则x－x－a＝0无实根的

4

1

3概率为.

4

答案 C

4．(2014·课标全国卷Ⅱ)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )

A．0.8 C．0.6

B．0.75 D．0.45

解析 设A＝“某一天的空气质量为优良”，B＝“随后一天的空气质量为优良”，则P(B|A)＝

PA∩B0.6

＝＝0.8，故选A.

PA0.75

答案 A

5．已知，圆x＋y＝π内的曲线y＝－sinx，x∈[－π，π]与x轴围成的阴影部分区域记为

2

2

2

Ω(如图)，随机往圆内投掷一个点A，则点A落在区域Ω内的概率为( )

A.C.4

3 π23 π

B.D.33 π13 π

解析 由已知得阴影部分的面积为

2∫π0sinxdx＝2(－cosx)?

?

3

π0＝4，圆的面积为π，所以点A落在区域Ω内的概率是3. π4

答案 A

6．甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲2

每局比赛获胜的概率均为，则甲以3:1的比分获胜的概率为( )

3

2

A. C.

49

827

B. D.

89

6481

?2?282?2?2

解析 前三局中甲获胜2局，第四局甲胜，则P＝C3??×?1－?×＝.

?3??3?327

答案 A 二、填空题

7．(2014·广东卷)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．

解析 要使6为取出的7个数中的中位数，则取出的数中必有3个小于6，另外3个大于6，故

C316

所求概率为7＝.

C106

1答案

6

8．一出租车司机从饭店到火车站的途中经过六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件1

是相对独立的，并且概率都是.那么这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率是

3________．

解析 由题意知，在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，所以这位司机在第一、二个交

?1?214

通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯的概率P＝?1－?×＝.

?3?327

答案

4 27

三、解答题

9．小王参加人才招聘会，分别向A，B两个公司投递个人简历．假定小王得到A公司面试的概1

率为，得到B公司面试的概率为p，且两个公司是否让其面试是独立的，记X为小王得到面试的公

31

司个数．若X＝0时的概率P(X＝0)＝，则随机变量X的数学期望．

2

解析 由题意，知两个公司是否让小王面试是独立的， 11?1?故P(X＝0)＝?1－?×(1－p)＝，解得p＝. 24?3?111

故P(X＝2)＝×＝. 4312

115

所以P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝1－－＝.

21212由期望的计算公式，

3

1517

可得E(X)＝0×＋1×＋2×＝.

2121212答案

7 12

10．(2014·天津卷)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．

(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；

(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望． 解 (1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则

203

C1493·C7＋C3·C7

P(A)＝＝. 3

C1060

所以，选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为(2)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.

3－kCk4·C6

P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)．

C310

49

. 60

所以，随机变量X的分布列是

X P 0 1 61 1 22 3 103 1 3011316随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

6210305

11．现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答． (1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；

3

(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是，

54

答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分

5布列和数学期望．

解 (1)设事件A＝“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”， －

则有A＝“张同学所取的3道题都是甲类题”．

C61－

因为P(A)＝3＝，

C106

－5

所以P(A)＝1－P(A)＝.

6(2)X所有的可能取值为0,1,2,3.

4

3

?3?0?2?2140

P(X＝0)＝C2·??·??·＝；

?5??5?5125

?3?1?2?110?3?0?2?24281

P(X＝1)＝C2·??·??·＋C2??·??·＝；

?5??5?5?5??5?5125?2?011324572?3?2

P(X＝2)＝C2??·??·＋C2···＝；

555125?5??5?5?3?2?2?04362

P(X＝3)＝C2·??·??·＝.

?5??5?5125

所以X的分布列为：

X P 所以E(X)＝0×

0 4 1251 28 1252 57 1253 36 1254285736＋1×＋2×＋3×＝2. 125125125125

B级——能力提高组

1．(2014·陕西卷)设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi＝xi＋a(a为非零常数，i＝1,2，…，10)，则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为( )

A．1＋a,4 C．1,4

解析 利用样本的均值、方差公式求解． x1＋x2＋…＋x10

＝1，yi＝xi＋a，

10

B．1＋a,4＋a D．1,4＋a

所以y1，y2，…，y10的均值为1＋a，方差不变仍为4.故选A. 答案 A

2．(2014·福建卷)为回馈顾客，某商场拟通过模球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．

(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望．

(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．

解 (1)设顾客所获的奖励额为X.

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