第十章 概率统计
【知识点】 第一节计数原理
1．加法原理： 完成一件事有n类办法，各类办法分别有m1，m2，?，mn种方法，则完成这件事共有N＝ 种不同的方法．（分类计数原理）
2．乘法原理： 完成一件事需要分成n个步骤，各步骤分别有m1，m2，?，mn种方法，则完成这件事共有N＝ 种方法．（分步计数原理） 第二节概率初步
1．随机事件
随机现象：在一定的条件下，某些现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果．（偶然现象）
确定性现象：在一定的条件下，某些现象事先就能断定发生或者不发生．（必然现象） 随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，如：明天下雨． 必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件．如：通电导体发热．
不可能事件：在一定条件下，肯定不会发生的事件．如：磁铁同极相互吸引． 2．频率和概率
频率：是指在多次重复试验中某事件发生的次数与试验次数的比值．
m
概率：当试验次数充分大时，如果事件A发生的频率总稳定在某个常数附近，那么n就把这个常数叫做事件A发生的概率，记作P(A)．
3．概率的简单性质
(1)P(Ω)＝1，P(?)＝0.
(2)对于任意事件A，0≤P(A)≤1
(3)互斥事件：是在一次试验中不可能同时发生的两个事件． 如果A，B是互斥事件，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(4)对立事件：在一次试验中，其中必有一个发生的两个互斥事件．一个事件A的对立事件通常记为A.
4．等可能事件的概率
(1)古典概型：如果一个随机试验可能出现的结果只有有限个，即基本事件总数是有限的，并且每个基本事件发生的可能性相同．
一般地，在古典概型中，如果基本事件的总数为n，那么任一基本事件中Ai(i＝1，2，?，1
n)发生概率为P(Ai)＝；而包含m个基本事件的事件A的概率为：
n
m事件A包含的基本事件数P(A)＝＝ n基本事件总数
1
(2)几何概型：一个随机试验，我们将基本事件理解为从某个可度量的几何区域G内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域g中的点．
一般地，在几何区域G中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域g内”为事件A，则事件A发生的概率．
g的度量P(A)＝
G的度量
第三节统计初步 1．总体和个体
统计对象的全体称为总体，组成总体的每一个具体对象称为个体． 2．样本和样本容量
从总体中抽取出来的若干个个体称为总体的一个样本，样本中个体的个数称为样本容量或样本大小．
3．随机抽样 (1)随机抽样是指在抽取样本时遵循机会均等的原则，即总体中的每一个个体都有同等的机会被抽出，用这种方法抽得的样本叫随机样本．
(2)常用的抽样方法有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样．
简单随机抽样：从元素个数为N的总体中不放回地抽取容量为n的样本，且每一次抽取时各个个体被抽到的概率相等。（抽签法、随机数表法、计算机（器）产生随机数法）
系统抽样：总体所含个体较多，将总体均衡地分成几个部分，然后按照预先制定的规则，从每个部分中抽取一个个体，得到所需的样本。（机械抽样）
分层抽样：总体由差别明显的几个部他组成，先将总体按个体差异分成层次分明且互不重叠的几部分，然后按各部分在总体中所占比例进行简单随机抽样。
4．总体分布估计 (1)基本思想：用样本的频率分布，作为对总体分布的一个估计，用样本的平均值和标准差作为总体平均值和标准差的估计．
(2)基本步骤：①计算极差；②决定组距；③确定各组分点；④列频率分布表；⑤绘制频率分布直方图
(3)频数：各组内数据的个数．
(4)频率：每组的频数与全体数据的个数之比叫做该组的频率． 5．总体特征值估计
1
(1)样本均值：如果n个数x1，x2，?，xn，那么x＝(x1＋x2＋?＋xn)叫做这n个数
n
的平均数或均值．
(2)样本方差：如果样本由n个数x1，x2，?，xn组成，那么样本的方差为
1－－－
S2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋?＋(xn－x)2]．
n
(3)样本标准差：用样本方差的算术平均根来表示个体与样本均值之间的偏离程度，叫做样本标准差，即：
2
S＝1－－－
[（x1－x）2＋（x2－x）2＋?＋（xn－x）2]. n
(4)均值反映了样本和总体的平均水平，方差和标准差则反映了样本和总体的波动大小程度，方差和标准差越小则数据的稳定越好． 【练习题】
1．某学生去书店买书，发现3本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有( ) A．3种 B．6种 C．7种 D．9种
2．某公共汽车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有( ) A．510种 B．105种 C．50种 D．以上都不对
3．在一次读书活动中，一人要从5本不同的科技书，7本不同的文艺书里任取一本书，那么不同的选法有______种．( )
A．5 B．7 C．12 D．35
4．甲队中有5辆汽车，乙队有4辆汽车，若从中派一辆执行任务，共有________种不同的派法．
5．从甲地到乙地有2条路可走，从乙地到丙地有4条路可走，又从甲地不经过乙地到丙地有3条路可走，那么从甲地到丙地有________种走法．
6．一商场有三个大门，商场内有两部上楼的电梯，一顾客从商场外到商场二楼购物，共有________不同的走法．
7．某电子器件线路中共有4个焊接点，今发现回路不通，则焊接点脱落的可能性有___种． 8．下列现象不是随机现象的是( )
A．掷一枚硬币着地时正面朝上 B．明天下雨
C．三角形的内角和为180° D．买一张福利彩票中奖 9．先后抛掷两枚硬币，出现“一枚正面、一枚反面”的概率为( )
1113
A. B. C. D.
4324
10．下列事件中，________是必然事件，________是不可能事件，________是随机事件．
(1)买一张彩票中奖； (2)种子播种到田里不发芽； (3)同性电荷相互排斥； (4)掷两颗骰子出现点数之和为20.
11．在一次射击比赛中，命中10环、9环和8环的概率分别为0.1，0.2和0.3，则至少命中8环的概率为________．
12．从1，2，3，4，5中任取一个数，取到的数是偶数的概率为________． 13．抛掷一颗骰子，观察掷出的点数，求点数不超过3的概率________．
14．已知一个样本在[0.845，0.875]内的频数为6，频率为0.06，则样本的容量n为( ) A．40 B．50 C．100 D．200
15．某校期中考试后，为分析该校高二年级2000名学生的学习成绩，从中随机抽取了200名学生的成绩单，正面说法正确的是的( )
A．2000名学生是总体 B．每个学生是个体
3
C．200名学生的成绩是一个个体 D．样本容量是200
16．用随机数表去进行抽样，有以下几个步骤：①将总体中的个体编号；②获取样本号码；③选定开始的数字，这些步骤的先后顺序为( )
A．①②③ B．③②① C．①③② D．③①②
1
17．从个体数为N的总体中抽出一个样本容量是20的样本，每个个体被抽到的概率是，
5则N的值是( )
A．20 B．40 C．80 D．100
18．为了保证分层抽样时，每个个体被抽到的概率都相等，则要求( ) A．每层等可能抽样 B．每层取同样多的样本容量
C．所有的层用同一抽样法等可能抽样 D．不同的层用不同的抽样法抽样 19．一个年级有12个班，每个班有50名同学，随机编号为1～50号，为了了解他们在课外兴趣爱好，要求每班的32号学生留下来进行问卷调查，这里运用的抽样方法是( ) A．分层抽样 B．抽签法 C．随机数表法 D．系统抽样法
20．对总数为n的一批零件抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽取的概率为0.25，则n等于( )
A．150 B．200 C．120 D．100
21．从总体中随机地，独立地抽取样本叫做__ _____；这样得到的样本叫做________． 22．某校有初中生1200人，高中生900人，老师120人，现用分层抽样方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本进行调查，如果应从高中生中抽取60人，那么n＝________． 23．在根据样本估计总体分布的过程中，下列说法正确的是( ) A．总体容量越大，估计越精确 B．总体容量越小，估计越精确 C．样本容量越大，估计越精确 D．样本容量越小，估计越精确
1
24．某样本方差的算式为σ2＝[(x1－20)2＋(x2－20)2＋?＋(x10－20)2]，则式中的数字10
10和20分别表示样本的( )
A．容量、平均数 B．平均数、容量 C．容量、众数 D．标准差、平均数 25．给出五个数据90，90，93，94，93，则这五个数据的平均值和方差分别为( ) A．92，2 B．92，2.8 C．93，2 D．93，2.8
26．一个样本中，数据15和13各有4个，数据14有2个，则这个样本的平均数为__________，方差为__________，标准差约为__________．
4
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