2012年全国高中数学联赛福建省预赛
一、填空题(每小题6分，共60分)
1．已知集合A?{x|x?1|?2}，B?{xlog2x?log3x}，则AB? ．
2．已知函数f(x)?3sin2x?2cos2x?a，若f(x)在区间[0,]上的最小值为?1，则a的值
2为 ．
3．若关于x的方程x3?3x2?9x?a在区间[?2,3]上恰有两个不同的实根,则实数a的取值范 围为 ．
4．已知点O在?ABC内部，且3AB?2BC?CA?4AO,记?ABC的面积为S1,?OBC的面积 为S2,则
S1的值为 ． S2?5．已知正三棱锥P?ABC底面正三角形的边长为23，内切球半径为2?1，则三棱锥的 体积为 ．
6．已知数列{an}中，a1?1，an?1?(n?1)an(n?N*)，则数列{an}的前n项和为 ． 2n7．有14个大小、形状相同的小球,其中7个红球,7个白球．它们分别装在甲、乙两个盒子 内,其中甲盒子内装有4个红球、3个白球,乙盒子内装有3个红球、4个白球．现从甲盒 子内随机摸出1个小球放入乙盒子内,再从乙盒子内随机摸出1个小球放回甲盒子内,记 此时乙盒子内红球的个数为?,则?的数学期望E?? ． 8．不等式x2?lnx?x的解集为 .(用区间表示) 9．函数f(x)?2x?3?5?x的最大值为 ．
xxx10．对正整数x,记m?[]?[2]?[3]?222?[x其中k为满足2k?x的最小整数,符号[x] ]，k2表示不超过x的最大整数．x与m的差,即x?m称为正整数x的“亏损数”．(如，x?100
100100100100100100100时,m?[ ]?[2]?[3]?[4]?[5]?[6]?[7]?50?25?12?6?3?1?0?97，
2222222x?m?100?97?3，因此,数100的“亏损数”为3．)则“亏损数”为9的最小正整数
x为 ．
二、解答题(每小题20分，共100分)
11．已知数列{an}为等差数列,且a2?5，a8?23．数列{bn}是各项均为正数的等比数列，
b1?2，且对任意正整数s,t都有bs?t?bs?bt成立．
(Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式；
(Ⅱ)求证：数列{bn}中有无数多项在数列{an}中．
x2y212．已知双曲线C：2?2?1(a?0,b?0)的离心率e?3，其左焦点F1到渐近线的距离
ab为2．
(Ⅰ)求双曲线C的方程；
(Ⅱ)若过点D(2,0)的直线l交双曲线于A,B两点，且以AB为直径的圆过坐标原点O． 求直线AB的方程．
13．如图,四边形ABCD是圆内接四边形，且AB?CD?AD?BC,
E是对角线AC上一点．
(Ⅰ)若E是AC中点，求证：?ABE??DBC；
(Ⅱ)若?ABE??DBC,试问E是否为AC中点？说明理由． 14．已知函数f(x)?ln(x?1)?2?ax?2(其中a?0)． x?1(Ⅰ)当a?1时，求f(x)的最小值；
(Ⅱ)若x?[0,2]时，f(x)?0恒成立，求实数a的取值范围． 15．已知集合P是由不超过2012的正整数组成的集合，即P?{1,2,3,,2012}．集合A是集
合P的子集，符号|A|表示集合A中元素的个数，S(A)表示集合A中所有元素的和． (Ⅰ)若集合A中任意两个数的差都不是101的倍数，求|A|的最大值；
(Ⅱ)若集合A中任意两个数的差都不是101的倍数，且任意两个数的和也不是101的倍 数，求|A|的最大值；
(Ⅲ)若集合A中任意两个数的差都不是101的倍数，且任意两个数的和也不是101的倍 数，同时S(A)?2012，求|A|的最大值．
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