一．平面几何
1． 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边
的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍． 2． 射影定理（欧几里得定理）
3． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC的边BC的中点为P，则
有AB2?AC2?2(AP2?BP2)； 中线长：ma?二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．
15． 托勒密（Ptolemy）定理：圆内接四边形对角线之积等于两
组对边乘积之和，即AC·BD=AB·CD+AD·BC，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB·CD+AD·BC≥AC·BD
16． 蝴蝶定理：AB是⊙O的弦，M是其中点，弦CD、EF经过
点M，CF、DE交AB于P、Q，求证：MP=QM． 17． 费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近
两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外
2222b2?2c2?a2
224． 垂线定理：AB?CD?AC?AD?BC?BD
高
线
长
：
接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．定理2 三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点
18． 拿破仑三角形：在任意△ABC的外侧，分别作等边△ABD、
△BCE、△CAF，则AE、AB、CD三线共点，并且AE＝BF＝CD，这个命题称为拿破仑定理． 以△ABC的三条边分别向外作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙C1 、⊙A1 、⊙B1的圆心构成的△——外拿破仑的三角形，⊙C1 、⊙A1 、⊙B1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；△ABC的三条边分别向△ABC的内侧作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙C2 、⊙A2 、⊙B2的圆心构成的△——内拿破仑三角形，⊙C2 、⊙A2 、⊙B2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．这两个拿破仑三角形还具有相同的中心
19． 九点圆（Nine point round或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形
中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如:
（1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半 （2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点
（3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕
20． 欧拉（Euler）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂
心依次位于同一直线（欧拉线）上．
21． 欧拉（Euler）公式：设三角形的外接圆半径为R，内切圆半
径为r，外心与内心的距离为d，则d2=R2－2Rr．
22． 锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各
边距离的和．
23． 重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分
成2：1的两部分；G(xA?xB?xC,yA?yB?yC)
ha?
2bcp(p?a)(p?b)(p?c)?sinA?csinB?bsinCaa5． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线
段与这个角的两边对应成比例．
如△ABC中，AD平分∠BAC，则BD?AB；（外角平分线
DCAC定理）
角平分线长：ta?22bcAbcp(p?a)?cos（其中
b?cb?c2p为周长一半）
6． 正弦定理：
abc（其中R为三角???2R，
sinAsinBsinC2形外接圆半径） 7． 余弦定理：c?a2?b2?2abcosC
8． 张角定理：sin?BAC? sin?BAD?sin?DAC
ADACAB9． 斯特瓦尔特(Stewart)定理：设已知△ABC及其底边上B、C
两点间的一点D，则有AB2·DC+AC2·BD－AD2·BC＝BC·DC·BD
10． 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一
半．（圆外角如何转化？）
11． 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角
12． 圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定
理）：切线长定理：）
13． 布拉美古塔（Brahmagupta）定理： 在圆内接四边形ABCD
中，AC⊥BD，自对角线的交点P向一边作垂线，其延长线必平分对边
14． 点到圆的幂：设P为⊙O所在平面上任意一点，PO=d，⊙
O的半径为r，则d2－r2就是点P对于⊙O的幂．过P任作一直线与⊙O交于点A、B，则PA·PB= |d2－r2|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此
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重心性质：（1）设G为△ABC的重心，连结AG并延长交BC于D，则D为BC的中点，则
（2）设
G
（4）设I为△ABC的内心，BC?a,AC?b,AB?c,
AG:GD?2:1；
的重心，则
?A平分线交
BC于D，交△ABC外接圆于点K，则
为△ABC
1S?ABG?S?BCG?S?ACG?S?ABC
3（3）设G为△ABC的重心，过G作DE∥BC交AB于D，交AC于E，过G作PF∥AC交AB于P，交BC于F，过G作HK∥AB交AC于K，交BC于H，则
AIAKIKb?c ???IDKIKDa（5）设I为△ABC的内心，BC?a,AC?b,AB?c,I
在BC,AC,AB上的射影分别为D,E,F，内切圆半径为
DEFPKH2DEFPKH???;???2（4）设BCCAAB3BCCAABG为△ABC的重心，则
1r，令p?(a?b?c)①S?ABC?pr；②
2AE?AF?p?a;BD?BF?p?b;CE?CD?p?c；③abcr?p?AI?BI?CI．
26． 外心：三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心
到三角形各顶点距离相等；
BC2?3GA2?CA2?3GB2?AB2?3GC21GA2?GB2?GC2?(AB2?BC2?CA2)3PA2?PB2?PC2?GA2?GB2?GC2?3PG2（P为
△ABC内任意一点）；
④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即
O(
sin2AxA?sin2BxB?sin2CxCsin2AyA?sin2By,sin2A?sin2B?sin2Csin2A?sin2B外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等
（2）设O为△ABC的外心，则?BOC?2?A或
GA2?GB2?GC2最小；
⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G为△ABC的重心）．
24． 垂心：三角形的三条高线的交点；
?BOC?360??2?A
（3）R?abc；（4）锐角三角形的外心到三边的4S?距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和
27．abcabc 旁心：一内角平分线与两外角平分线交点——旁切圆圆心；
xA?xB?xCyA?yB?y△CABC设的三边BC?a,AC?b,AB?c,令cosAcosBcosCcosAcosBcosCH(,)abcabc1????p?(a?b?c)，分别与BC,AC,AB外侧相切的旁切cosAcosBcosCcosAcosBcosC2垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍
（2）垂心H关于△ABC的三边的对称点，均在△ABC的外接圆上；
（3）△ABC的垂心为H，则△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆；
（4）设O，H分别为△ABC的外心和垂心，
圆圆心记为IA,IB,IC，其半径分别记为rA,rB,rC旁心性质
：
（
1
）
?BIAC?90??11?A,?BIBC??BICC??A,（对221(?A??C) 2于顶角B，C也有类似的式子） （2）?IAIBIC（3）设
?BAO??HAC,?CBO??ABH,?BCO??HCA
25． 内心：三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到
三角形各边距离相等
?AIA的连线交△ABC的外接圆于D，则
I(axA?bxB?cxCayA?byB?cyC,)
a?b?ca?b?cDIA?DB?DC（对于BIB,CIC有同样的结论）
（4）△ABC是△IAIBIC的垂足三角形，且△IAIBIC的外接圆半径R'等于△ABC的直径为2R． 28． 三
角
形
面
积
公
式
内心性质：（1）设I为△ABC的内心，则I到△ABC三边的距离相等，反之亦然 （
2
）
设
I
为
△ABC
的
内
心
，
则
?BIC?90??11abc111?2R2sinAsinBsinC?A,?AIC?90???B,?AIB?90???CS?ABC?aha?absinC?222224Ra2?b2?c2 ?4(cotA?cotB?cotC)?pr?p(p?a)(p?b)(p?c)，其中ha表示BC边上的
（3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若?A平分线交△ABC外接圆于点K，I为线段AK上的点且满足KI=KB，则I为△ABC的内心 2
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高，R为外接圆半径，r为内切圆半径，p?1(a?b?c)
于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条（与西摩松线平行的）直线上．这条直线被叫做点P关于△ABC的镜象线．
229． 三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系
r?4Rsin
44． 牛顿定理ABCABCAB1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中CABCsinsin;ra?4Rsincoscos,rb?4Rcossincos,rc?4Rcoscossin;点和两条对角线的中点，三点共线．这条直线叫做这个四边222222222222形的牛顿线．
． 牛顿定理rrr1451112：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的
ra?,r?,r?;???. BCbACcABrarb圆心，三点共线．rcrtantantantantantan22222246． 笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它
30． 梅涅劳斯（Menelaus）定理：设△ABC的三边BC、CA、AB
或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有
们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线． 47． 笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，
设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线． 48． 波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、
R，则P、Q、R关于△ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2?) ．
49． 波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接圆
上的三点，若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点．
50． 波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交
点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点． 51． 波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P
的关于△ABC的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦，则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点．
52． 波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、
AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点
53． 卡诺定理：通过△ABC的外接圆的一点P，引与△ABC的三
边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF，与三边的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线． 54． 奥倍尔定理：通过△ABC的三个顶点引互相平行的三条直
线，设它们与△ABC的外接圆的交点分别是L、M、N，在△ABC的外接圆上取一点P，则PL、PM、PN与△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．
55． 清宫定理：设P、Q为△ABC的外接圆的异于A、B、C的
两点，P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．
56． 他拿定理：设P、Q为关于△ABC的外接圆的一对反点，点
3
BPCQAR（逆定理也成立） ???1．
PCQARB31． 梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线
交边CA于Q，∠C的平分线交边AB于R，∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线
32． 梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC的三个顶点A、
B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线
33． 塞瓦(Ceva)定理：设X、Y、Z分别为△ABC的边BC、CA、
AB上的一点，则AX、BY、CZ所在直线交于一点的充要条件是
AZBXCY··=1 ZBXCYA
34． 塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC的边BC的直线与两
边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中点M 35． 塞瓦定理的逆定理：（略）
36． 塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一
点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点
37． 塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边
BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点．
38． 西摩松（Simson）定理：从△ABC的外接圆上任意一点P
向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线Simson line） 39． 西摩松定理的逆定理：（略）
40． 关于西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q
关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上 41． 关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点，
以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点
42． 史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，
这时关于△ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中心． 43． 史坦纳定理的应用定理：△ABC的外接圆上的一点P的关
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P的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，如果QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．（反点：P、Q分别为圆O的半径OC和其延长线的两点，如果OC2=OQ×OP 则称P、Q两点关于圆O互为反点）
57． 朗古来定理：在同一圆周上有A1、B1、C1、D1四点，以其
中任三点作三角形，在圆周取一点P，作P点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上．
58． 从三角形各边的中点，向这条边所对的顶点处的外接圆的切
线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心 59． 一个圆周上有n个点，从其中任意n－1个点的重心，向该
圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点 60． 康托尔定理1：一个圆周上有n个点，从其中任意n－2个
点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点．
61． 康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N两
点，则M和N点关于四个三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上．这条直线叫做M、N两点关于四边形ABCD的康托尔线． 62． 康托尔定理3：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N、
L三点，则M、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、L、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、M、L两点的关于四边形ABCD的康托尔线交于一点．这个点叫做M、N、L三点关于四边形ABCD的康托尔点．
63． 康托尔定理4：一个圆周上有A、B、C、D、E五点及M、
N、L三点，则M、N、L三点关于四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一个康托尔点在一条直线上．这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E的康托尔线． 64． 费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切． 65． 莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三
分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形．这个三角形常被称作莫利正三角形．
66． 布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF相对的顶
点A和D、B和E、C和F，则这三线共点．
67． 帕斯卡（Paskal）定理：圆内接六边形ABCDEF相对的边
AB和DE、BC和EF、CD和FA的（或延长线的）交点共线． 68． 阿波罗尼斯（Apollonius）定理：到两定点A、B的距离之比
为定比m：n（值不为1）的点P，位于将线段AB分成m：n
.
三．二次函数，二次方程 1·二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式(2)顶点式4
1.元素与集合的关系
的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上．这个圆称为阿波罗尼斯圆．
69． 库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，
过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆．
70． 密格尔（Miquel）点： 若AE、AF、ED、FB四条直线相交
于A、B、C、D、E、F六点，构成四个三角形，它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点．
71． 葛尔刚（Gergonne）点：△ABC的内切圆分别切边AB、BC、
CA于点D、E、F，则AE、BF、CD三线共点，这个点称为葛尔刚点．
72． 欧拉关于垂足三角形的面积公式：O是三角形的外心，M是
三角形中的任意一点，过M向三边作垂线，三个垂足形成的
22三角形的面积，其公式： S?DEF?|R?d|．
S?ABC4R2二．集合
x?A?x?CUA,x?CUA?x?A.
2.德摩根公式
CU(AIB)?CUAUCUB;CU(AUB)?CUAICUB3.包含关系
AIB?A?AUB?B?A?B?CUB?CUA
?AICUB???CUAUB?R
4.集合{a1,a2,L,an}的子集个数共有2n 个；真子集有
2n–1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n–2个.
5.集合A中有M个元素，集合B中有N个元素，则可以构造M*N个从集合A到集合B的映射；
6.容斥原理
card(AUB)?cardA?cardB?card(AIB)
card(AUBUC)?cardA?cardB?cardC?card(AIB)?card(AIB)?card(BIC)?card(CIA)?card(AIBIC)
f(x)?ax2?bx?c(a?0); f(x)?a(x?h)2?k(a?0);
f(x)?a(x?x1)(x?x2)(a?0).
2·解连不等式N?f(x)?M常有以下转化形式
N?f(x)?M?[f(x)?M][f(x)?N]?0
f(x)?NM?NM?N?0 |??|f(x)??M?f(x)22(3)零点式
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11?.
f(x)?NM?N3·方程f(x)?0在(k1,k2)上有且只有一个实根,与f(k1)f(k2)?0不等价,前者是后者的一个必要而不是充分
?（3）方程
f(x)?0在区间(??,n)内有根的充要条件为
?p2?4q?0? . f(m)?0或?p???m?26·定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据
(1)在给定区间(??,??)的子区间
条件.特别地, 方程ax?bx?c?0(a?0)有且只有一个
实根在(k1,k2)内,等价于f(k1)f(k2)?0,或f(k1)?0k?k2bf(k2)?0且k1???1且,或
2a2k1?k2b???k2. 22a4·闭区间上的二次函数的最值
2L（形如??,??，
???,??，??,???不同）上含参数的二次不等式
f(x,t)?0(t为参数)恒成立的充要条件是
f(x,t)min?0(x?L).
(2)在给定区间(??,??)的子区间上含参数的二次不等式f(x,t)?0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)man?0(x?L).
(3)
f(x)?ax2?bx?c(a?0)在闭区间?p,q?上
b的最值只能在x??处及区间的两端点处取得，具体如下：
2ab(1)当a>0时，若x????p,q?，则2abf(x)min?f(?),f(x)max?max?f(p),f(q)?； 2abx????p,q?，f(x)max?max?f(p),f(q)?，2af(x)min?min?f(p),f(q)?.
二次函数
f(x)?ax4?bx2?c?0恒成立的充要条件是
?a?0?a?0?b?0或?. ?2b?4ac?0?c?0?? 四．简易逻辑 1·真值表 ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 2·常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一个也没有 一个 都是 不都是 至多有至少有两个 一个 大于 不大于 至少有至多有（n?1）n个 个 小于 不小于 至少有（n?1）个 p或q ?p且?q 至多有n个 b??p,q?，则2abf(x)min?min?f(p),f(q)?，若x????p,q?，则2a，f(x)max?max?f(p),f(q)?(2)当
a<0
时，若
x??f(x)min?min?f(p),f(q)?.
5·一元二次方程的实根分布
依据：若
f(m)f(n)?0，则方程f(x)?0在区间(m,n)内至少有一个实根 .
设f(x)?x2?px?q，则 （1）方程f(x)?0在区间(m,??)内有根的充要条件为?p2?4q?0?； f(m)?0或?p???m?2（2）方程f(x)?0在区间(m,n)内有根的充要条件为?f(m)?0?f(n)?0??f(m)?0?2f(m)f(n)?0或?p?4q?0或?或
af(n)?0??p?m???n??2?f(n)?0； ?af(m)?0?
对所有存在某x， x， 成立 不成立 对任何存在某 x， x， p且q ?p或?q 不成立 成立 3·四种命题的相互关系
原命题 互逆 逆命题 若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ 互 互 互 为 为 互 否 否 逆 逆 否 否 否命题 逆否命题 若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ
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