中考数学压轴题专题复习—相似的综合含详细答案

中考数学压轴题专题复习—相似的综合含详细答案

一、相似

1．如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C，D（点D位于点C的左侧）．

（1）求函数y=ax2+bx+c的解析式；

（2）从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；

（3）若点M是线段BC上的动点，点N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的Rt△AMN，使△AMN的面积为△ABC面积的 ？若存在，求tan∠MAN的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）解：y=x2+2x+1=（x+1）2的图象沿x轴翻折，得y=﹣（x+1）2 ， 把y=﹣（x+1）2向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得y=﹣x2+4， ∴所求的函数y=ax2+bx+c的解析式为y=﹣x2+4

（2）解：∵y=x2+2x+1=（x+1）2 ， ∴A（﹣1，0），

当y=0时，﹣x2+4=0，解得x=±2，则D（﹣2，0），C（2，0）； 当x=0时，y=﹣x2+4=4，则B（0，4），

从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形的有：△ACB，△ADB，△CDB， ∵AC=3，AD=1，CD=4，AB= ∴△BCD为等腰三角形，

∴构造的三角形是等腰三角形的概率=

，BC=2

，BD=2

，

（3）解：存在，

易得BC的解析是为y=﹣2x+4，S△ABC= AC?OB= ×3×4=6， M点的坐标为（m，﹣2m+4）（0≤m≤2）， ①当N点在AC上，如图1，

∴△AMN的面积为△ABC面积的 ，

∴ （m+1）（﹣2m+4）=2，解得m1=0，m2=1，

当m=0时，M点的坐标为（0，4），N（0，0），则AN=1，MN=4， ∴tan∠MAC=

=4；

当m=1时，M点的坐标为（1，2），N（1，0），则AN=2，MN=2， ∴tan∠MAC=

=1；

②当N点在BC上，如图2，

BC=

=2

，

，

∵ BC?AN= AC?BC，解得AN= ∵S△AMN= AN?MN=2，

∴MN= =

，

∴∠MAC=

；

③当N点在AB上，如图3，

作AH⊥BC于H，设AN=t，则BN=

﹣t，

由②得AH= ，则BH=

，

∵∠NBG=∠HBA， ∴△BNM∽△BHA，

∴ ∴MN=

，即

，

，

∵ AN?MN=2， 即 ?（

﹣t）?

=2，

）2﹣4×3×14=﹣15＜0，方程没有实数解，

整理得3t2﹣3 t+14=0，△=（﹣3

∴点N在AB上不符合条件，

综上所述，tan∠MAN的值为1或4或

【解析】【分析】（1）将y=x2+2x+1配方成顶点式，根据轴对称的性质，可得出翻折后的函数解析式，再根据函数图像平移的规律：上加下减，左加右减，可得出答案。 （2）先求出抛物线y=x2+2x+1的顶点坐标A，与x轴、y轴的交点D、C、B的坐标，可得出从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形的有：△ACB，△ADB，△CDB，再求出它们的各边的长，得出构造的三角形是等腰三角形可能数，利用概率公式求解即可。 （3）利用待定系数法求出直线BC的函数解析式及△ABC的面积、点M的坐标，再分情况

讨论：①当N点在AC上，如图1；②当N点在BC上，如图2；③当N点在AB上，如图3。利用△AMN的面积=△ABC面积的 ，解直角三角形、 相似三角形的判定和性质等相关的知识，就可求出tan∠MAN的值。

2．设C为线段AB的中点，四边形BCDE是以BC为一边的正方形．以B为圆心，BD长为半径的⊙B与AB相交于F点，延长EB交⊙B于G点，连接DG交于AB于Q点，连接AD．

求证：

（1）AD是⊙B的切线； （2）AD=AQ； （3）BC2=CF?EG．

【答案】（1）证明：连接BD，

∵四边形BCDE是正方形， ∵C为AB的中点，

∴∠DBA=45°，∠DCB=90°，即DC⊥AB， ∴CD是线段AB的垂直平分线， ∴AD=BD，

∴∠DAB=∠DBA=45°， ∴∠ADB=90°， 即BD⊥AD， ∵BD为半径， ∴AD是⊙B的切线

（2）证明：∵BD=BG，

∴∠BDG=∠G， ∵CD∥BE， ∴∠CDG=∠G，

∴∠G=∠CDG=∠BDG= ∠BCD=22.5°，

∴∠ADQ=90°﹣∠BDG=67.5°，∠AQB=∠BQG=90°﹣∠G=67.5°， ∴∠ADQ=∠AQD， ∴AD=AQ

（3）证明：连接DF， 在△BDF中，BD=BF， ∴∠BFD=∠BDF， 又∵∠DBF=45°， ∴∠BFD=∠BDF=67.5°， ∵∠GDB=22.5°，

在Rt△DEF与Rt△GCD中，

∵∠GDE=∠GDB+∠BDE=67.5°=∠DFE，∠DCF=∠E=90°， ∴Rt△DCF∽Rt△GED， ∴

,

又∵CD=DE=BC， ∴BC2=CF?EG．

【解析】【分析】（1）连接BD，要证AD是圆B的切线，根据切线的判定可知，只须证明∠ADB=∠DBC=∠CDB=∠∠ADB=

即可。由正方形的性质易得BC=CD，∠DCB=∠DCA=，根据点C为AB的中点可得BC=CD=AC，所以可得∠ADC=

，，则

，问题得证；

-∠G，∠ADQ=

-

（2）要证AQ=AD，需证∠AQD=∠ADQ。由题意易得∠AQD=AQ=AD；

∠BDG，根据等边对等角可得∠G=∠BDG，由等角的余角相等可得∠AQD=∠ADQ，所以（3）要证乘积式成立，需证这些线段所在的两个三角形相似，而由正方形的性质可得CD=DE=BC，所以可知BC、CF、EG分别在三角形DCF和三角形GED中，连接DF，用有两对角对应相等的两个三角形相似即可得证。

3．如图，抛物线y= x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D且它的坐标为（3，﹣1）．