中考数学
确定圆的条件
教学目标：
1、 理解不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2、 掌握过不在同一直线上的三个点作圆的方法。 3、 了解三角形的外接圆，三角形的外心等概念。 4、 经历作圆的过程，进一步体会解决问题的策略。
教学重点： 理解不在冋一直线上三个点确定一个圆及作圆的方法 教学难点： 过不在同一条直线上的三个点作圆的方法。
课堂教学： 知识点1:过三点的圆。
由圆的定义可知，圆有两个要素：一个是圆心，另一个是半径，圆心确定圆的位置，半 径确定圆的大小，作图的关键是确定圆心的位置和半径的大小。 探索1：作圆，使它经过已知点 A
由于所求的圆的圆心和半径都没有限制，因此，只要以点 它经过 A，B两点。
要作经过A、B两个点的圆，就必须以与点 A、B距离相等的点为圆心。所以只要以线 段AB为垂直平分线上任意一点为圆心，以这点与 A或B的距离为半径长，就可以作出要 求作的圆，这样的圆也有无数个。
探索3：作圆，使它经过不在同一直线上的三个已知点。
作圆的关键是圆心和半径，要求圆心到三点的距离相等。因此符合这样条件的点是唯一 的，而半径也是唯一的。所以这样的圆是唯一的。
结论：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，同一直线上三点不能作圆。
A以外的任意一点为圆心，
以这一点（圆心）与点 A的距离为半径，就可以作出要求作的圆，这样的圆有无数个。 探索2：作圆，使
知识点2 :三角形外接圆、三角形的外心，圆的内接三角形的概念。
三角形的三个顶点确定一个圆， 如图，O O
这个圆叫做三角形的外接圆。
外接圆的圆心是三角形的
三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这圆的内接三角形。
ABC的外接圆,
△ ABC是O O的内接三角形。
说明:
1、 锐角三角形的外心在三角形的内部
2、 “接”说明三角形的顶点与圆的位置关系，
“内” “外”是相对的位置关系。 以三角形为
准，那么圆在其外，并且三个顶点都在圆上，就说圆是三角形的外接圆。
【典型例题】
例1.下列命题中，真命题的个数是
（
）
并且只有一个内接三
①经过三点一定可以作圆； ②任意一个圆一定有一个内接三角形，
角形。③任意一个三角形一定有一个外接圆, 形的三个顶点距离相等。
并且只有一个外接圆, ④三角形的外心到三角
A. 4个 B. 3个 C. 2个 A、B、C,其中
D. 1个
B点坐标为（4，4），则
例2.如图，直角坐标系中一条圆孤经过网格点
该圆孤所在的圆的圆心的坐标 __________________________
0 例3.图中△ ABC外接圆的圆心坐标是 __________________________
、 、
C X
例4.如图，方格纸上一圆经过（2，5）,（2,— 3）两点，则该圆圆心的坐标为 _____________________
例5. 一只猫观察到一老鼠洞的全部三个出口，它们不在一条直线上，这只猫应蹲在 ________ 地方，才能最省力地顾及到三个洞口。
例6已知，锐角△ ABC用直尺和圆规，作△ ABC的外接圆，写出作法, 并保留作图痕迹。 作法：
2
例7.在Rt△ ABC中，/ C= 90°,直角边长a, b是方程x 4x 2 0的两个根。 求Rt△ ABC的外接圆的半径。
分析：由直角三角形的外心为斜边中点可知，
Rt△ ABC的斜边AB即为其外接圆直径,
因此只要求出 AB即可，而AB可由方程求得。
例8.在厶ABC中，AB = AC = 10, BC = 12求其外接圆的半径。
例9.已知直线a : y= x— 3和点A （0,— 3） , B （ 3, 0）设P为a上一点，试判断 P、A、 B是否在同一个圆上。
分析：P、A、B三点能否确定圆的关键是判断 P、A、B是否在同一直线上，已知点 P 在直线a上，应判断A、B两点是否在直线 a上。
例10.大家知道：四个点不能确定一个圆， 但是有些特殊的四边形的四个顶点在同一个圆 上请说出这些特殊的四边形，并研究这些四边形的四个内角之间有什么特殊的大小关系。
解：特殊的四边形为矩形，正方形，等腰梯形，它们四个内角中相对的两个内角和为
180 °
说明：本题是对不共线三点确定一个圆的知识的拓展，我们要善于联想， 活运用所学知识探究出新的知识。
大胆猜想，灵
例11.如图，已知圆的内接三角形
ABC中，AB = AC，D是BC边上的一点，E是直线 AD的延长线与△ ABC外接圆的交点。
（1） 求证：AB 1 2 3 4= AD ? AE
（2） 当D为BC延长线上一点时，第（ 不1）问的结论成立吗？如果成立，请证明，如果
成立，请说明理由。
【模拟试题】（答题时间：30分钟） 1.判断题（正确的在题后括号内打“V”
，错误的打“x” ）
5. 若厶ABC的外接圆的圆心在△ ABC的外部，则△ ABC是（）
(A) 150°
(B) 135°
(D) 120°
1 经过三个点一定可以作圆 （ ）
2 三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等 （ ） 3 任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆 （）
12. _______________________________________________________ 等边三角形的边长为 4,
则此三角形外接圆的半径为 _______________________________________________
13?如图，是一块残破的圆轮片， A、B、C是圆弧上的三点
A.锐角三角形
6. 下列命题中，正确的是( A. 三点可确定一个圆
B.直角三角形
)
C?钝角三角形 D.无法确定
B. 三角形的外心是三角形三边中线的交点 C. 一个三角形有且只有一个外接圆 D. 三角形的外心必在三角形的内部或外部 7. 等腰直角三角形的外接圆的半径为 (
C.底边长的 2倍 则其
外接圆半径为.
A.腰长
B.腰长的2倍
6, 8，则这
D.腰上的高
8. Rt△ ABC 中，/ C = 90°, BC = 5 , AC = 12 9. 若直角三角形的两直角边长分别为
个三角形的外接圆直径是
10. 等腰三角形 ABC内接于半径为 5cm的O O中，若底边BC = 8cm，则△ ABC的面积 是 11.
在Rt△ ABC中，如果两条直角边的长分别为3、4,那么Rt△ ABC的外接圆的面积为
【试题答案】
1?⑴X ⑵“⑶\⑷X
2.C 3. D 4. D 5. C 6. C 7. B 8. 6.5
25 4-3
9. 10 10. 8cm5 6或 32 cm2 11.
4
12.
3
（
）
13. (1)作图略 (2) 60cm
（4） 任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形 2.三角形的外心是（
）
（B）三条边高的交点
（A）三条边中线的交点
（C）三条边垂直平分线的交点（D）三条角平分线的交点
5 6
作出弧ACB所在的O O (不写作法，保留作图痕迹) 如果 AC = BC = 60cm，/ ACB = 120°,
求该残破圆轮片的半径。
3.
直径，依次连接四个端点得到的四边形是（
（A）菱形
（B）等腰梯形
（C）正方形
在同一个圆中画两条） （D）矩形
4. 如图，P为正三角形ABC外接圆上一点，则/ APB等于（）
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