2013线性代数期中试题

线性代数期中试题（2013.5）

学院 班级 姓名 学号 得分

试卷说明： 设A是矩阵，A表示A的转置矩阵，A表示A的伴随矩阵，|A|表示A的行列式，E表示单位矩阵．

一、 单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．设A???T*?12??x1????，则AB?BA的充分必要条件是（ ） ,B?????43??2y?(A) x?y?1 (B) x?y??1 (C) x?y (D) x?2y 2．设A，B是3阶矩阵，若|A|??1,|B|?2，则

2AOA?B?（ ）

(A) ?4 (B) 4 (C) ?16 (D) 16 3．设A,B,A?B均为n阶可逆矩阵，则(A?1?B?1)?1＝ ( )．

?1?1?1?1(A) A?B (B)A?B (C) (A?B) (D) A(A?B)B

4．若向量组?1,?2,?,?s的秩为r，则（ ）

(A) r?s (B) 向量组中任意r个向量线性无关 (C) r?s (D) 向量组中任意r?1个向量线性相关

5．设齐次线性方程组AX?0有非零解，则矩阵A有可能为 ( )

(A) 初等矩阵 (B) 对称矩阵 (C) 单位矩阵 (D)非奇异矩阵 6．设A?(?1,?2,?3)，其中α1,α2,α3为3 维列向量，则（ ）与|A|的值相等．

(A) |?1,?1??2,?1??2??3| (B) |?3,?2,?1| (C) |?1??2,?2??3,?3??1| (D) |?2??3,?1,?3|

7．设A,B,C是n阶矩阵，由AB=AC能推出B=C，则A满足（ ）

（A）A?O （B）A?O （ C）|A|?0 （D）|AB|?0 8．设A是m?n矩阵，若线性方程组AX?0只有零解，则不一定成立的是（ (A) m?n (B) AX??有唯一解 (C) 矩阵的列向量组线性无关 (D) 矩阵的行向量组的秩为n

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）

二、 填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．如果n阶方阵A满足ATA?E,|A|?0,则|A|?_________．

?01??ad??01?2．??10????bc????10??? ．

??????1011?2?3?*3．矩阵A???81??的伴随矩阵A? ．

???12??2?14．设矩阵A的秩为3，B??00??00?5．设A为3阶方阵，|A|=-

24214??1?，则秩(BA)? ． ?7?2??1?1?，则|?3A??2A|? ． 216．设D?k230?4，若余子式M23??10，则D? ． 5k0?1*m7．设A为n阶反对称矩阵，则矩阵A,A,A(m是正整数）中 一定是反对称矩阵． 8．设a2ka13a31a4la54是五阶行列式中带“－”的一项，则k,l分别为 ． 三、 计算题（本大题共5小题，每小题8分，共40分）

11．计算四阶行列式D=

202310420?5．

113?1?1

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?010??1?1?????2．设A???111?,B??20?,如果矩阵X满足等式X?AX?B,求X．

?10?1??5?3?????

、

3．设向量组α1?(0,4,2),α2?(1,1,0),α3?(?2,4,3),α4?(?1,1,1)，求该向量组的一个极大线性无关组，并用此极大线性无关组表示其余向量．

?122?1??*?14．已知矩阵A???120?，求|A|,(A)．

2???3?12?

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?x1?2x2?2x3?3x4?0?5．设?2x1?2x2?6x3?4x4??1，问k为何值时方程组有解？并求线性方程组的通解．

?x?2x?6x?x?k234?1

四、 证明题（第1题4分，第2题8分，共12分）

－B　1．设A,B为n阶方阵，且AB?A，证明：AB?BA．

2．设向量组?1,?2,?,?s线性无关，而?1,?2,?,?s,?线性相关，证明：?可以唯一地由向量组?1,?2,?,?s线性表示．

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线性代数期中考试（2013）

参考答案及评分标准

一、选择题（每小题3分，共24分）

1． B ２．D 3．D 4．D 5．B 6．A 7．C 8．B 二、填空题（每小题3分，共24分） 1．?1 2． ??5．??d?ca??13???? 3． 4． 3 ???b???82?128?1 6．?40 7． A 8．k?5,l?2 27三、计算题（每小题8分，共40分）

1．-24………………..……….. ..………. ..………. ..………. ..……….….....(8分)

?9?3???2．X?(E?A)?1B=?8?2?……..………. ..………. ..………. ..………...(8分)

?7?3???3．?1,?2为一个极大线性无关组…. ..………. .. …. ..………. .. …. ..………. ..….(4分)

1?3?32?1?2?2,?4?2?1??2………. ..………. .. …. ..… ..………. ....(8分)

4．|A|??1, …. .. …. ..………. .. …. ..………. ..….(4分) 4??2?4?4???(A*)?1??2A??2?40?.………. ..……….……………..(8分)

??62?4???5．k??2……. …. ..………. .. …. ..………. .. …. ..………. .. …. ..………. ....(４分) 通解(?1,1,0,0)T?k1(4,?1,1,0)T?k2(?1,?1,0,1)T,k1,k2为任意常数……. ..…(8分) 2四、证明题（第1题4分，第2题8分，共12分）

－B　1．证明：由AB?A得(A?E)(E?B)?E?(E?B)(A?E)?E?BA?A?B ?AB?BA．

2．证明：?可以由向量组?1,?2,?,?s线性表示．..…. . .. …. ..………. .. …. ..…（4分）

唯一…….. . . .. …. ..…. . .. …. ..…. . .. …. ..…. . .. …. ..…. . .. …. ..……………...（6分）

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