2010-2019十年高考真题分类汇编数学专题08数列

(2)设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{bn}的通项公式. (1)证明(公式法)因为

11??-1an=×()33=

()31-3??1

,Sn=13??1-311

=

1-??321

,所以Sn=

1-????

. 2(2)解(对数运算)bn=log3a1+log3a2+…+log3an=-(1+2+…+n)=-所以{bn}的通项公式为bn=-??(??+1)

. 2??(??+1)

. 22

57.(2011·全国·理T17)等比数列{an}的各项均为正数,且2a1+3a2=1,??3=9a2a6.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{}的前n项和.

222(1)设数列{an}的公比为q.由??3=9a2a6,得??3=9??4,

1

????

所以q=.由条件可知q>0,故q=. 由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1,所以a1=. 故数列{an}的通项公式为an=??. (2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an =-(1+2+…+n)=-故=-1??1

1????

??(??+1)

. 2

13

132

1913211

=-2(-), ??(??+1)????+1

+

11

+…+ ??2????

1

1

1

1

1

=-2[(1-)+(-)+…+(-)] 223????+1=-2??. ??+11

2??

所以数列{??}的前n项和为-??+1. ??

58.(2010·全国·理T17)设数列{an}满足a1=2,an+1-an=3·2(1)求数列{an}的通项公式;

(2)令bn=nan,求数列{bn}的前n项和Sn. (1)由已知,当n≥1时,

an+1=[(an+1-an)+(an-an-1)+…+(a2-a1)]+a1 =3(2

2n-1

2n-1

.

+2

2n-3

+…+2)+2=2

2(n+1)-1

.

2n-1

而a1=2,所以数列{an}的通项公式为an=2

.

41

(2)(错位相消法)由bn=nan=n·2Sn=1·2+2·2+3·2+…+n·2

2

3

5

3

5

2n-1

知

①

2n+1

2n-1

.

从而2·Sn=1·2+2·2+3·2+…+n·2①-②,得

(1-2)Sn=2+2+2+…+2即Sn=9[(3n-1)2

1

2n+1

2

3

5

2n-1

7

. ②

-n·2

2n+1

,

+2].

59.(2010·全国·文T17)设等差数列{an}满足a3=5,a10=-9, (1)求数列{an}的通项公式;

(2)求数列{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值.

??+2??=5,??=9,

(1)(方程思想)由an=a1+(n-1)d及a3=5,a10=-9得{1可解得{1

??1+9??=-9,??=-2.数列{an}的通项公式为an=11-2n. (2)由(1)知,Sn=na1+

2

??(??-1)2

d=10n-n. 2

因为Sn=-(n-5)+25,

所以(二次函数性质)当n=5时,Sn取得最大值.

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