1．向量的夹角
→→
已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是：[0，π]． 2．平面向量的数量积
定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b |a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影， |b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积 投影 几何意义
3.平面向量数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则 (1)e·a＝a·e＝|a|cos θ. (2)a⊥b?a·b＝0.
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|； 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|. 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝a·a. a·b
(4)cos θ＝.
|a||b|(5)|a·b|≤|a||b|.
4．平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到 (1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝x2＋y2.
→
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离AB＝|AB|＝?x2－x1?2＋?y2－y1?2. (3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?x1x2＋y1y2＝0. x1x2＋y1y2a·b
(4)若a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角，则cos θ＝＝222. |a||b|x1＋y1 x2＋y22
【知识拓展】
1．两个向量a，b的夹角为锐角?a·b>0且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角?a·b<0且a，b不共线． 2．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. (3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( √ )
(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( √ ) (3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.( × ) (4)(a·b)c＝a(b·c)．( × )
π
(5)两个向量的夹角的范围是[0，]．( × )
2
1．(教材改编)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k等于( ) A．－12 C．－6 答案 D
解析 ∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)， 由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0， ∴10＋2－k＝0，解得k＝12.
2．(2017·南宁质检)已知向量a与b的夹角为30°，且|a|＝1，|2a－b|＝1，则|b|等于( )
B．6 D．12
A.6 B.5 C.3 D.2 答案 C
解析 由题意可得a·b＝|b|cos 30°＝|b|＝3，故选C.
→3．(2015·广东)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝(1，－2)，→→→AD＝(2,1)，则AD·AC等于( ) A．5 B．4 C．3 D．2 答案 A
解析 ∵四边形ABCD为平行四边形， →→→
∴AC＝AB＋AD＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)． →→∴AD·AC＝2×3＋(－1)×1＝5.
4．(2016·北京)已知向量a＝(1，3)，b＝(3，1)，则a与b夹角的大小为________． π答案
6
a·b
解析 设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝|a||b|π
又因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
6
5．(2016·厦门模拟)设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝________. 答案
10
1×3＋1×312＋?3?2·12＋?3?2
＝
233
＝， 42
3
|b|,4a2－4a·b＋b2＝1，即4－23|b|＋b2＝1，由此求得2
解析 ∵a⊥b，∴a·b＝0，即x－2＝0， ∴x＝2，∴a＝(2,1)，∴a2＝5，b2＝5， ∴|a＋b|＝＝
?a＋b?2＝a2＋2a·b＋b2
5＋5＝10.
题型一 平面向量数量积的运算
例1 (1)(2016·天津)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中
→→
点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则AF·BC的值为( ) 5A．－
81C. 4
1B. 811D. 8
→→→→
(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·CB的值为________；DE·DC的最大值为________． 答案 (1)B (2)1 1
→→→解析 (1)如图，由条件可知BC＝AC－AB，
→→→1→3→AF＝AD＋DF＝AB＋DE
221→3→
＝AB＋AC， 24→→所以BC·AF
→→1→3→＝(AC－AB)·(AB＋AC)
243→1→→1→2
＝AC2－AB·AC－AB. 442
因为△ABC是边长为1的等边三角形， →→
所以|AC|＝|AB|＝1，∠BAC＝60°， →→3111所以BC·AF＝－－＝. 4828
(2)方法一 以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设
→→→→
E(t,0)，t∈[0,1]，则DE＝(t，－1)，CB＝(0，－1)，所以DE·CB＝(t，－1)·(0，－1)＝1.
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