→→→因为DC＝(1,0)，所以DE·DC＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1， →→故DE·DC的最大值为1. 方法二 由图知，
→→→→→无论E点在哪个位置，DE在CB方向上的投影都是CB＝1，∴DE·CB＝|CB|·1＝1， →→
当E运动到B点时，DE在DC方向上的投影最大，即为DC＝1， →→→∴(DE·DC)max＝|DC|·1＝1.
思维升华 平面向量数量积的三种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用数量积的几何意义求解．
13→?31?→
(1)(2016·全国丙卷)已知向量BA＝?，?，BC＝，则∠ABC等于( )
?22??2，2?
A．30° B．45° C．60° D．120°
(2)(2015·天津)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点E和F→2→→1→→→
分别在线段BC和DC上，且BE＝BC，DF＝DC，则AE·AF的值为________．
3629
答案 (1)A (2) 18
→→
解析 (1)∵|BA|＝1，|BC|＝1， →→BA·BC3
cos∠ABC＝＝，
2→→
|BA|·|BC|
又∵0°≤∠ABC≤180°，∴∠ABC＝30°.
(2)在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2，BC＝1， →→→→2→
∠ABC＝60°，∴CD＝1，AE＝AB＋BE＝AB＋BC，
3
→→→→1→AF＝AD＋DF＝AD＋DC，
6
→→?→2→??→1→?→→→1→2→→2→1→∴AE·AF＝?AB＋3BC?·AD＋AB·DC＋BC·AD＋BC·DC＝2×1×cos ?AD＋6DC?＝AB·633612212960°＋2×＋×12×cos 60°＋××12×cos 120°＝.
633618题型二 平面向量数量积的应用 命题点1 求向量的模
π
例2 (1)(2016·西安模拟)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝3，|b|＝2，在△ABC中，
6→→→
AB＝2a＋2b，AC＝2a－6b，D为BC的中点，则|AD|＝________.
→
(2)在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1,0)，B(0，3)，C(3,0)，动点D满足|CD|＝1，则→→→
|OA＋OB＋OD|的最大值是________． 答案 (1)2 (2)7＋1 →1→→
解析 (1)因为AD＝(AB＋AC)
21
＝(2a＋2b＋2a－6b) 2＝2a－2b，
→
所以|AD|2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋b2) π
＝4×(3－2×2×3×cos ＋4)＝4，
6→
所以|AD|＝2.
→→
(2)设D(x，y)，由CD＝(x－3，y)及|CD|＝1，
知(x－3)2＋y2＝1，即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆．
→→→
又OA＋OB＋OD＝(－1,0)＋(0，3)＋(x，y)
＝(x－1，y＋3)， →→→∴|OA＋OB＋OD|＝
?x－1?2＋?y＋3?2.
问题转化为圆(x－3)2＋y2＝1上的点与点P(1，－3)间距离的最大值． ∵圆心C(3,0)与点P(1，－3)之间的距离为故
?x－1?2＋?y＋3?2的最大值为7＋1.
?3－1?2＋?0＋3?2＝7，
→→→
即|OA＋OB＋OD|的最大值是7＋1. 命题点2 求向量的夹角
1
例3 (1)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的
3夹角为β，则cos β＝________.
(2)若向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________________．
9922－∞，－?∪?－，3? 答案 (1) (2)?2??2??3解析 (1)因为a2＝(3e1－2e2)2 ＝9－2×3×2×12×cos α＋4＝9， 所以|a|＝3，
因为b2＝(3e1－e2)2＝9－2×3×1×12×cos α＋1＝8， 所以|b|＝22， a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)
1
＝9e2e2＋2e21－9e1·2＝9－9×1×1×＋2＝8， 3a·b822所以cos β＝＝＝.
|a||b|3×223(2)∵2a－3b与c的夹角为钝角， ∴(2a－3b)·c＜0， 即(2k－3，－6)·(2,1)＜0， ∴4k－6－6＜0， ∴k＜3.
9
又若(2a－3b)∥c，则2k－3＝－12，即k＝－.
29
当k＝－时，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c，
2即2a－3b与c反向．
99
－∞，－?∪?－，3?. 综上，k的取值范围为?2??2??
思维升华 平面向量数量积求解问题的策略 (1)求两向量的夹角：cos θ＝
a·b
，要注意θ∈[0，π]． |a||b|
(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b?a·b＝0?|a－b|＝|a＋b|. (3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： ①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝a·a. ②|a±b|＝?a±b?2＝
a2±2a·b＋b2.
x2＋y2.
③若a＝(x，y)，则|a|＝
→→→→→
(1)(2015·湖北)已知向量OA⊥AB，|OA|＝3，则OA·OB＝________.
→→→
(2)在△ABC中，若A＝120°，AB·AC＝－1，则|BC|的最小值是( ) A.2 C.6
答案 (1)9 (2)C
→→→→→→→→→→→→→2解析 (1)因为OA⊥AB，所以OA·AB＝0.所以OA·OB＝OA·(OA＋AB)＝OA2＋OA·AB＝|OA|＋0＝32＝9. →→(2)∵AB·AC＝－1， →→∴|AB|·|AC|·cos 120°＝－1， →→即|AB|·|AC|＝2，
→→→→→→→2∴|BC|2＝|AC－AB|2＝AC2－2AB·AC＋AB →→→→≥2|AB|·|AC|－2AB·AC＝6， →
∴|BC|min＝6.
题型三 平面向量与三角函数
例4 (2015·广东)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝?π
0，?. x∈??2?
(1)若m⊥n，求tan x的值；
22?
，n＝(sin x，cos x)，，－2??2
B．2 D．6
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