π
(2)若m与n的夹角为，求x的值．
3解 (1)因为m＝?所以m·n＝0，即22?
，n＝(sin x，cos x)，m⊥n. ，－2??2
22
sin x－cos x＝0， 22
所以sin x＝cos x，所以tan x＝1. π1
(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cos＝，
32即
221sin x－cos x＝， 222
π1
x－?＝， 所以sin??4?2
ππππ
因为0 2444ππ5π 所以x－＝，即x＝. 4612 思维升华 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解． (2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等． →→ (1)已知O为坐标原点，向量OA＝(3sin α，cos α)，OB＝(2sin α，5sin α－4cos α)， 3π→→ ，2π?，且OA⊥OB，则tan α的值为( ) α∈??2?4A．－ 34C. 5 4B．－ 53D. 4 13→→ (2)已知向量a＝(－，)，OA＝a－b，OB＝a＋b，若△OAB是以O为直角顶点的等腰直 22角三角形，则△OAB的面积为________． 答案 (1)A (2)1 解析 (1)由题意知6sin2α＋cos α·(5sin α－4cos α)＝0，即6sin2α＋5sin αcos α－4cos2α＝0，3π ，2π?， 上述等式两边同时除以cos2α，得6tan2α＋5tan α－4＝0，由于α∈??2? 4 则tan α＜0，解得tan α＝－，故选A. 3 →→→ (2)由题意得，|a|＝1，又△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，所以OA⊥OB，|OA|→→→ ＝|OB|.由OA⊥OB得(a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2＝0，所以|a|＝|b|， →→ 由|OA|＝|OB|得|a－b|＝|a＋b|，所以a·b＝0. 所以|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＝2， 1→→ 所以|OB|＝|OA|＝2，故S△OAB＝×2×2＝1. 2 6．利用数量积求向量夹角 典例 已知直线y＝2x上一点P的横坐标为a，直线外有两个点A(－1,1)，B(3,3)．求使向量→→ PA与PB夹角为钝角的充要条件． 错解展示 现场纠错 解 错解中，cos θ<0包含了θ＝π， →→ 即PA，PB反向的情况，此时a＝1， →→ 故PA，PB夹角为钝角的充要条件是0 纠错心得 利用数量积的符号判断两向量夹角的范围时，不要忽视两向量共线的情况． 1．(2016·北师大附中模拟)已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是( ) 1A．x＝－ 2C．x＝5 答案 D 2．若向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a＋b|等于( ) A．22＋3 C．4 答案 B 解析 |a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos 60° 1 ＝4＋4＋2×2×2×＝12，|a＋b|＝23. 2 3．(2016·山西四校二联)已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b夹角的正弦值为( ) 1313A．－ B．－ C. D. 2222答案 D 解析 ∵a·(a＋b)＝a2＋a·b＝22＋2×1×cos〈a，b〉＝4＋2cos〈a，b〉＝3， 1∴cos〈a，b〉＝－， 2又〈a，b〉∈[0，π]， ∴sin〈a，b〉＝1－cos2〈a，b〉＝ 3. 2B．23 D．12 B．x＝－1 D．x＝0 →→→→ 4. 如图，在△ABC中，若|AB＋AC|＝|AB－AC|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC边的三等分点，→→则AE·AF等于( ) 8102526A. B. C. D. 9999答案 B →→→→→→→→→2→2→→→→解析 若|AB＋AC|＝|AB－AC|，则AB2＋AC2＋2AB·AC＝AB＋AC－2AB·AC，即有AB·AC＝→→→→→→?→1→??→1→?0.E，F为BC边的三等分点，则AE·AF＝(AC＋CE)·(AB＋BF)＝?AC＋3CB?·?AB＋3BC?＝ 10→1→??1→2→?2→22→25→→2?2AC＋AB·AC＋AB＝AC＋AB＋AB·AC＝×(1＋4)＋0＝.故选B. 3??33?9?39999 →→→→→ 5．(2017·驻马店质检)若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝0，则△ABC的形状为( ) A．正三角形 C．等腰三角形 答案 C →→→→→解析 因为(OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝0， →→→→→→即CB·(AB＋AC)＝0，因为AB－AC＝CB， →→→→→→所以(AB－AC)·(AB＋AC)＝0，即|AB|＝|AC|， 所以△ABC是等腰三角形，故选C. →→→→→ 6.若△ABC外接圆的圆心为O，半径为4，OA＋2AB＋2AC＝0，则CA在CB方向上的投影为( ) A．4 C.7 答案 C 解析 如图所示，取BC的中点D，连接AD，OD， B.15 D．1 B．直角三角形 D．等腰直角三角形 则由平面向量的加法的几何意义得 →→→AB＋AC＝2AD. 又由条件得， 1→1→→→ AB＋AC＝－OA＝AO， 22 →1→→→ 所以2AD＝AO，即4AD＝AO，所以A，O，D共线． 2→→ 所以OA⊥BC，所以CD为CA在CB方向上的投影． →→→ 因为|AO|＝|CO|＝4，所以|OD|＝3，
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