→所以|CD|＝ →→
|OC|2－|OD|2＝7.
→→→→
7．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，点P在AM上，且满足AP＝2PM，则PA·(PB＋→
PC)的值为________． 答案 －4
解析 由题意得，AP＝2，PM＝1， →→→→→所以PA·(PB＋PC)＝PA·2PM ＝2×2×1×cos 180°＝－4.
33→→→→8．在△ABC中，AB·BC＝3，△ABC的面积S∈[，]，则AB与BC夹角的取值范围是________．
22ππ
答案 [，]
64
解析 由三角形面积公式及已知条件知 313≤S△ABC＝AB·BCsin B≤， 222所以3≤AB·BCsin B≤3，①
→→由AB·BC＝3，知AB·BCcos(π－B)＝3， 3所以AB·BC＝－，
cos B3sin B
代入①得，3≤－≤3，
cos B所以－1≤tan B≤－
33π5π，所以≤B≤， 346
ππ→→
而AB与BC的夹角为π－B，其取值范围为[，]．
64
9．(2016·江西白鹭洲中学调研)已知在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点P→→→→是斜边AB上的中点，则CP·CB＋CP·CA＝________. 答案 4
解析 由题意可建立如图所示的坐标系，
→→→→→→→→
可得A(2,0)，B(0,2)，P(1,1)，C(0，0)，则CP·CB＋CP·CA＝CP·(CB＋CA)＝2CP2＝4. →→→1→10．(2015·福建改编)已知AB⊥AC，|AB|＝，|AC|＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，
t→→→AB4AC→→且AP＝＋，则PB·PC的最大值等于________．
→→|AB||AC|答案 13
解析 建立如图所示坐标系，
1?1→→
，0，C(0，t)，AB＝?，0?，AC＝(0，t)， 则B??t??t?→→
→AB4AC?1?4AP＝＋＝t?t，0?＋(0，t)＝(1,4)，
t→→
|AB||AC|→→?1
∴P(1,4)，PB·PC＝?t－1，－4?(－1，t－4) ?·1
＋4t?≤17－2＝17－??t?
1
·4t＝13. t
11．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61. (1)求a与b的夹角θ； (2)求|a＋b|；
→→
(3)若AB＝a，BC＝b，求△ABC的面积． 解 (1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61， 所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
又|a|＝4，|b|＝3，所以64－4a·b－27＝61， 所以a·b＝－6，
－61a·b所以cos θ＝＝＝－. |a||b|4×322
又0≤θ≤π，所以θ＝π.
3
(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2
＝42＋2×(－6)＋32＝13， 所以|a＋b|＝13.
2→→
(3)因为AB与BC的夹角θ＝π，
32ππ
所以∠ABC＝π－＝. 33→→
又|AB|＝|a|＝4，|BC|＝|b|＝3， 1→→
所以S△ABC＝|AB||BC|·sin∠ABC
213
＝×4×3×＝33. 22
12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n3＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－.
5(1)求sin A的值；
→→
(2)若a＝42，b＝5，求角B的大小及向量BA在BC方向上的投影．
333
解 (1)由m·n＝－，得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－，所以cos A＝－.
555因为0＜A＜π， 所以sin A＝1－cos2A＝
34
－?2＝. 1－??5?5
ab
(2)由正弦定理，得＝，
sin Asin B45×5bsin A2
则sin B＝＝＝，
a422π
因为a＞b，所以A＞B，则B＝. 4
3－?， 由余弦定理得(42)2＝52＋c2－2×5c×??5?解得c＝1，
→→
故向量BA在BC方向上的投影为 22→
|BA|cos B＝ccos B＝1×＝.
22
*13.(2016·青岛模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(－1,2)，又点A(8,0)，
π
B(n，t)，C(ksin θ，t)(0≤θ≤)．
2
→→→→(1)若AB⊥a，且|AB|＝5|OA|，求向量OB；
→→→
(2)若向量AC与向量a共线，当k>4，且tsin θ取最大值4时，求OA·OC. →
解 (1)由题设知AB＝(n－8，t)， →
∵AB⊥a，∴8－n＋2t＝0. →→
又∵5|OA|＝|AB|，
∴5×64＝(n－8)2＋t2＝5t2，得t＝±8. 当t＝8时，n＝24；当t＝－8时，n＝－8， →→
∴OB＝(24,8)或OB＝(－8，－8)． →
(2)由题设知AC＝(ksin θ－8，t)， →
∵AC与a共线，∴t＝－2ksin θ＋16， tsin θ＝(－2ksin θ＋16)sin θ 432
＝－2k(sin θ－)2＋.
kk4
∵k>4，∴0<<1，
k
432
∴当sin θ＝时，tsin θ取得最大值. kk32
由＝4，得k＝8， kπ→
此时θ＝，OC＝(4,8)，
6→→∴OA·OC＝(8,0)·(4,8)＝32.
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