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北师大版七年级下册数学
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
幂的运算（提高）
【学习目标】
1. 掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）； 2. 能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算. 【要点梳理】
要点一、同底数幂的乘法性质
am?an?am?n(其中m,n都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、
多项式.
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，
即a?a?a?amnpm?n?p（m,n,p都是正整数）.
（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数
与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即
am?n?am?an（m,n都是正整数）.
要点二、幂的乘方法则 (a)?amnmn(其中m,n都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
mnpmnp要点诠释：（1）公式的推广：((a))?a（2）逆用公式： amnn (a?0，m,n,p均为正整数)
m??am???an?，根据题目的需要常常逆用幂的乘
方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 要点三、积的乘方法则
(ab)n?an?bn (其中n是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，
再把所得的幂相乘.
要点诠释：（1）公式的推广：(abc)?a?b?c (n为正整数).
（2）逆用公式：ab??ab?逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其
nnnnnnn?1??1?是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：???210???2??1.
?2??2?要点四、注意事项
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（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.
（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要
遗漏.
（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.
（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 【典型例题】
类型一、同底数幂的乘法性质
1、计算：
(1)(b?2)?(b?2)?(b?2)； (2)(x?2y)?(2y?x) ． 【答案与解析】
解：（1）(b?2)?(b?2)?(b?2)?(b?2)232353?5?12335?(b?2)9．
35 （2）(x?2y)?(2y?x)?(x?2y)?[?(x?2y)]??(x?2y)． 【总结升华】（1）同底数幂相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式．
（2）在幂的运算中，经常用到以下变形：
nn??(为偶数)?a(n为偶数),?(b?a)nn(?a)??n (a?b)??． n????a(n为奇数),??(b?a)(n为奇数)n类型二、幂的乘方法则 2、计算：
23（1）?[(a?b)]； （2）(y)?(y)?2y3223y5；
（3）(x2m?24)?(xm?1)2； （4）(x3)2?(x3)4．
【答案与解析】
23解：（1）?[(a?b)]??(a?b)2?3??(a?b)6．
66666（2）(y)?(y)?2y?y?y?y?2y?2y?2y?0． （3）(x2m?2432235)?(xm?1)2?x4(2m?2)?x2(m?1)?x8m?8?x2m?2?x10m?6．
34612（4）(x)?(x)?x?x32?x18．
【总结升华】（1）运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．（2）幂的乘方的法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可
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以是单项式或多项式．
3、（2015春?南长区期中）已知2=8
x
y+2
，9=3
yx﹣9
，求x+2y的值．
【思路点拨】根据原题所给的条件，列方程组求出x、y的值，然后代入求解． 【答案与解析】 解：根据2=2
x
3（y+2）
，3=3
2yx﹣9
，
列方程得：，
解得：，
则x+2y=11．
【总结升华】本题考查了幂的乘方，解题的关键是灵活运用幂的乘方运算法则． 举一反三： 【变式】已知a3m?2,b2m?3，则a2m????b???ab?3m623m22m23m?bm＝ ．
【答案】－5；
提示：原式?a ∵
类型三、积的乘方法则
4、计算：
24（1）?(2xy) （2）[?a?(?ab)]
24333????b???a???b?3m22m3
∴ 原式＝22?33?22?32＝－5.
【思路点拨】利用积的乘方的运算性质进行计算. 【答案与解析】
解：（1）?(2xy)?(?1)?2?x?(y)??16xy．
（2）[?a?(?ab)]??(a)?(?ab)??a?(?a)?b243332312936362724442448?a42b27．
【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略． 举一反三：
【变式1】下列等式正确的个数是( )．
①?2xy?233???6x6y9 ②??a2m??a6m ③?3a6??3a9
33④5?10?7?10?5??7??35?1035 ⑤??0.5?100?2101???0.5?2?100?2
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A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A；
提示：只有⑤正确；?2xy?233???8xy；??a692m3???a；?3a6m63??27a18；
?5?10???7?10??35?105712?3.5?1013
【变式2】（2015春?泗阳县校级月考）计算： （1）a?（3a）＋（﹣4a） （2）（2）?（）． 【答案】
（1）a?（3a）＋（﹣4a）
4610=a?9a＋16a 1010=9a＋16a
10=25a； （2）（2）?（）．
=（×）? =1× =．
2m
3m
2
m
2
2020
21
4
3
2
5
2
20
21
4
3
2
5
2
5、（2016秋?济源校级期中）已知x=2，求（2x）﹣（3x）的值．
【思路点拨】根据积的乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可得已知条件，根据已知条件，可得计算结果．
6m2m
【答案与解析】解：原式=4x﹣9x
2m32m
=4（x）﹣9x
3
=4×2﹣9×2 =14．
【总结升华】本题考查了幂的乘方与积得乘方，先由积的乘方得出已知条件是解题关键．
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