第四章 正 态 分 布
如果将第二章中的（表2 — 1）中的数据绘制成直方图，把每个方条顶部中点联结起来，就得到一个图形，它称为频数多边形。（图4 — 1）当分组数很多，组距很小时，频数多边形就趋于类似（图4 — 2）所示的平滑的曲线。这种曲线呈现出两侧近似对称的钟形。随机变量的类似这种分布，在自然界是相当普遍的其中最有代表性的是正态分布。下面就来介绍正态分布及其在体育中的几个应用。
f10987654321x
图4 — 1 频数多边形图
第一节 正态分布曲线的形式
如果随机变量X的概率密度函数为
1?(x??)2 y =（???x???） （4 — 1） e22??2?则称随机变量X是服从正态分布的由上式绘出的图形叫做正态曲线。（图4 — 2）X的变动范围在 ?? 至 +? 间。
Y0μX
图4 — 2 正态分布曲线
正态分布曲线中有两个参数：均值 ? 及方差 ?2。为了应用方便，对式（4 — 1）中的随机变量经过一个称为标准化的变换，即令u
x??来代替原式中的 ， 寻这时的随机变量u的概率密度函数成为：
? y =
1u2? （4 — 2） e22?按照（4 — 2）式绘出的图形，称作标准正态曲线。（图4 — 3）
Y0.40.30.20.1
-3-2-10123μ
图4 — 3 标准正态分布曲线
第二节 正态分布曲线的特征
正态分布曲线有许多特点，它们对实际工作有很大的帮助。它的主要特点有以下几个方面：
一，正态分布的形式是对称的（但对称的分布不一定是正态分布）。在正态分布中均值与中位数相重合。
二，从中央最高点逐渐向两侧降低，降低的速度是先慢后快，以后又再次减慢，最后接近横轴，但终究不能与横轴相交。
三，从中央向两侧逐渐下降，它的方向是先向内弯，达到离均值左右各一个标准差时又改向外弯，是以 ??1? 的点为曲线从内弯转向外弯的转折点，即正态曲线中标准差与曲线有固定的关系。
四，因为正态曲线是对称的，在曲线下不仅平均数的两侧面积相等，各相当距离间的面积相等，而且各相当距离间的曲线高度也相等，正态曲线下（与横轴间）的总面积为1. 00。
五，正态曲线可以有不同形式，它们的均值和标准差可以不相同，均值不同表明曲线在横轴上所处位置不同，标准差不同表明曲线的形态不同。标准差小则曲线高、且窄；标准差大则曲线低、且宽。（图4 — 4）由式（4 — 1）和（4 — 2）知，标准正态曲线的 ? = 0，? = 1，即标准正态曲线是关于纵轴对称；它在 ? = 0时，有最大值，它近似等于0. 4，如（图4 — 3）所示。
Yσ=0.5σ=1σ=20
图4 — 4 三种不同形式的正态分布曲线
第三节 正态分布表
从某市17岁男生中随机抽出205人测量身高，由这个样本计算得到 X= 168. 40厘米，S = 6. 13厘米。假定该市17岁男生身高服从正态分布，试估计身高在16. 40 — 172. 40厘米之间的人数。
求解这类问题的一般方法是：求从正态总体中随机选取一个个体的测量值落在区间（a, b）上的概率。这个概率在标准正态曲线下就是曲线、X轴、直线X = a 和X — b 所围成的面积。（图4 — 5）当概率P求得后，要求的人数约等于总人数乘以P值。
μX
Y0.40.30.20.1-3-2-10a1b23μ
图4 — 5 随机变量X在区间（a，b）内取值的概率示意图
表的左边第1 列这横轴上的位置，它是指横轴上某一点与平均值的距离，以标准差为单位来表示，通常记为u，即 u =
x?? （4 — 3） ?表上边的第1 行为u值的第2位小数。表的主体部分是各u值与均数（u = 0）之间所对应的单侧面积（或概率）。
一、知U值求对应的面积
例 4 — 1 求u 值为 －1 至 +2 之间对应的面积。 解：由于标准正态曲线是关于x = u对称的均数处的u值为零，所以u值在 －1至0这间对应的面积与它在 0 至 +1 之间的对应面积相等。查书后附表1得u值在－1至0的对应面积是34. 13%；u值在0至 +2 之间的面积是47. 72%。前者在均值的左边，后者在均值的右边，因此这两块面积之和便是所求面积。（图4 — 6）即：
34. 13% + 47. 72% = 81. 85%
81.854.13G.72%-102=-10图4—6
+02
例 4 — 2 本节开始提出的问题，即试估计身高在 160. 40 — 172. 40厘米之间的人数。
解：首先要求出身高为160. 40厘米和172. 40厘米的u值，按式（4 — 3）有（当 u 和 ? 未知时，可用 X 和S近似代替）：
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