南模中学高二期末数学试卷
2018.06
一. 填空题
1. 若i是虚数单位，复数z满足(3?4i)z?5，则z的虚部为
2. 正方体ABCD?A1B1C1D1中，异面直线A1C和B1D1所成角的大小为 3. 正四面体S-ABC的所有棱长都为2，则它的体积为
4. 7个人站成一排，其中甲一定站在最左边，乙和丙必须相邻，一共有 种不同排法 5. 某天有10名工人生产同一零部件，生产的件数分别是：15、17、14、10、15、17、17、 16、14、12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则a、b、c从小到大的关系依次是
6. 正三棱锥底面边长为1，侧面与底面所成二面角为45°，则它的全面积为 7. 正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面边长为2，若AC1与底面ABCD所成角为60°，则
A1C1和底面ABCD的距离是
8. 棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1的8个顶点都在球面O的表面上，E、F分别是棱
AA1、DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为 9. 已知正整数n，二项式(x3?2n7的展开式中含有的项，则n的最小值是 x)2x10. 在复数范围内解方程|z|2?(z?z)i?3?i（i为虚数单位），z? 2?i11. 把4个相同的球放进3个不同的盒子，每个球进盒子都是等可能的，则没有一个空盒子 的概率为
x2y2??1(x?0) 12. 在xOy平面上，将双曲线的一支
916及其渐近线y?4x和直线y?0、y?4围成的封闭图形 3记为D，如图中阴影部分，记D绕y轴旋转一周所得的 几何体为?，过(0,y)(0?y?4)作?的水平截面，计 算截面面积，利用祖暅原理得出?体积为
二. 选择题
13. 已知l、m、n是空间三条直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若l // m，l // n，则m // n B. 若l⊥m，l⊥n，则m // n
C. 若点A、B不在直线l上，且到l的距离相等，则直线AB // l D. 若三条直线l、m、n两两相交，则直线l、m、n共面
14. 一个圆柱形的罐子半径是4米，高是9米，将其平放，并在其中注入深2米的水，截面如图所示，水的体积是（ ）平方米
A. 24??243 B. 36??363 C. 36??243 D. 48??363
15. 为了研究某药厂的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12,13)、[13,14)、[14,15)、[15,16)、[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组、第二组、……、第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）
A. 6 B. 8 C. 12 D. 18
16. 若(1?2x)7?a0?a1x?a2x2?????a7x7，则|a0|?|a1|?|a2|?????|a7|?（ ） A. ?1 B. 1 C. 0 D. 37
17. 从8名女生和4名男生中选出6名学生组成课外活动小组，则按性别分层抽样组成课外 活动小组的概率为（ ）
36C84C42C83C4P84P42C12A. B. C. 6 D. 666C12P12PC121218. 已知复数z满足|z?1?2i|?|z?2?i|?32（i是虚数单位），若在复平面内复数z对 应的点为Z，则点Z的轨迹为（ ）
A. 双曲线的一支 B. 双曲线 C. 一条射线 D. 两条射线
三. 解答题 19. 求(x?
20. 已知关于x的方程x2?4x?p?0(p?R)的两个根是x1、x2. （1）若x1为虚数且|x1|?5，求实数p的值；
28)的二项展开式中的第5项的二项式系数和系数. 3x（2）若|x1?x2|?2，求实数p的值.
21. 沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组 成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称 为该沙漏的一个沙时，如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm， 细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的
2（细管长度忽略不计）. 3（1）如果该沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙，则该沙漏 的一个沙时为多少秒？（精确到1秒）
（2）细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏 底部的圆锥形沙堆，求此锥形沙堆的高度. （精确到0.1cm）
22. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA?AD?4，AB?2， 以AC的中点O为球心，AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N. （1）求证：平面ABM⊥平面PCD； （2）求直线CD与平面ACM所成角的大小； （3）求点N到平面ACM的距离.
23. 小威初三参加某高中学校的数学自主招生考试，这次考试由十道选择题组成，得分要求是：做对一道题得1分，做错一道题扣去1分，不做得0分，总得分7分就算及格，小威的目标是至少得7分获得及格，在这次考试中，小威确定他做的前六题全对，记6分，而他做余下的四道题中，每道题做对的概率均为p(0?p?1)，考试中，小威思量：从余下的四道题
2中再做一题并且及格的概率P2?p，他1?p；从余下的四道题中恰做两道并且及格的概率P发现P1?P2，只做一道更容易及格.
（1）设小威从余下的四道题中恰做三道并且及格的概率为P3，从余下的四道题中全做并且及格的概率为P4，求P3及P4；
（2）由于p的大小影响，请你帮小威讨论：小威从余下的四道题中恰做几道并且及格的概率最大？
参考答案
一. 填空题 1.
22?4 2. 3. 4. 240 5. a?b?c 6.
3523?6 47. 26 8. 2 9. 4 10.
二. 选择题
13. A 14. D 15. C 16. D 17. A 18. C
三. 解答题 19. T5?C84(x)4(131?i 11. 12. 36? 225241120. )，二项式系数为C84?70，系数为
3x8120.（1）??0，p?4，p?x1x2?x1x1?|x1|2?25，∴p?25；
（2）x1?x2??4，x1x2?p，若??0，即p?4，则|x1?x2|?16?4p?2，∴p?3； 若??0，即p?4，则|x1?x2|?4p?16?2，∴p?5；综上，p?3或p?5. 21.（1）V??r2H???()2?（2）V???42?H??13138316?39.71，V?0.02?1986，一沙时为1986秒； 313102464?，∴H???2.4，沙堆高度约为2.4cm. 812722.（1）AC是所作球面的直径，AM⊥MC，PA⊥平面ABCD，则PA⊥CD，又CD⊥AD， ∴CD⊥平面PAD，则CD⊥AM，∴AM⊥平面PCD，∴平面ABM⊥平面PCD； （2）AM?22，MC?23，S由VD?ACM?VM?ACD，求得h?ACM?26，设D到平面ACM的距离为h，
626h6?，∴sin??，??arcsin；
33CD3（3）PC?6，
5106PNPA8，∴PN?，∴NC:PC?5:9，所求距离h?. ?927PAPC323.（1）P3?p3?3p2(1?p)?p2(3?2p)，P4?p4?4p3(1?p)?p3(4?3p)； （2）① P1?P3且P1?P4，∴0?p?11；② P?p?1； 3?P1且P3?P4，2211时，恰做一道及格概率最大；p?时，P1?P3；22③ P4?P无解；综上，0?p?4?P3，1且P1?p?1时，恰做三道及格概率最大. 2
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