2020中考数学复习微专题：最值问题（将军饮马）突破与提升策略

2020中考数学复习微专题：最值问题（将军饮马）突破与提升策略

【问题引入】 “白日

【问题描述】

如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？

B军营将军A登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。

而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。

河

【问题简化】

如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？

BAP

【问题分析】

这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．

【问题解决】

作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB

BAPA'

当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）

BA端点P折点A'

【思路概述】

作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．

将军饮马模型系列

【一定两动之点点】

在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．

AP'MAPBOMPBP''ONN

此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．

【例题】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________．

BNPMA

【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’，化PM+PN+MN为P’N+MN+P’’M．

P'NBPMP''AOO

当P’、N、M、P’’共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P’P’’长，连接OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等边三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．

P'NPOMP''AB

【两定两动之点点】

在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。

AP'MPQONBONQ'MPQBA

考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化折线段PM+MN+NQ为P’M+MN+NQ’，当P’、M、N、Q’共线时，四边形PMNQ的周长最小。

【一定两动之点线】

在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。

AP'MPOBOMPANNB

此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P’，将折线段PM+MN转化为P’M+MN，即过点P’作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）

几何图形中的将军饮马

【寻找几何图形中端点关于折点所在直线的对称点位置】

1．正方形中的将军饮马 【关于对角线对称】

如图，正方形ABCD的边长是4，M在DC上，且DM=1， N是AC边上的一动点，则△DMN周长的最小值是___________．

ANDMBC

【分析】考虑DM为定值，故求△DMN周长最小值即求DN+MN最小值． 点N为折点，作点D关于AC的对称点，即点B，连接BN交AC于点N，此时△DMN周长最小．

ADMNBC

【假装不存在的正方形】

1.如图，在Rt△ABO中，∠OBA=90°，A（4,4），点C在边AB上，

且AC:CB=1:3，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四