考研数学真题及解析 2017 年考研数学三真题
一、选择题 1—8 小题．每小题 4 分，共 32 分．
??1? co ?s x , x ? 0 在 x ? 0 处连续，则 1. 若函数 f (x) ? ?
? ax ? b, x ? 0 ?1 1
（A） ab ? （B） ab ? ? （C） ab ? 0 （D） ab ? 2
2 2
1 x1 2 1? cos x lim f (x) ? b ? f (0) ，要使函数在 x ? 0 处连续， ? lim ??， 【详解】 lim f (x) ? lim
x?0?x?0 x?0 ax ax 2a x?0?
1 1
? b ? ab ? ．所以应该选（A） 必须满足 2a 2
?
????
2. 二元函数 z ? xy(3 ? x ? y) 的极值点是（
）
（C） (3, 0)
（D） (1,1)
（A） (0, 0)
（B） (0, 3)
【详解】
?z
? y(3 ? x ? y) ? xy ? 3y ? 2xy ? y2 ， ? 3x ? x2 ? 2xy ， ?x ?y 2
2 2 2
?z ?z 3 2x?z ??z
? ?2 y, 2? ?2x, ? ? ??2
?y?x ?x ?y ?x?y
?z
??z
? 3y ? 2xy ? y2 ? 0
??x 2
，得四个驻点．对每个驻点验证 AC ? B ，发现只有在点(1,1) 处满足 解方程组 ??
? ??z 3x ? x2 ? 2xy ? 0
???y
AC ? B2 ? 3 ? 0 ，且 A ? C ? ?2 ? 0 ，所以(1,1) 为函数的极大值点，所以应该选（D）
3. 设函数 f (x) 是可导函数，且满足 f (x) f ?(x) ? 0 ，则
（A） f (1) ??f (?1)
（B） f (1) ??f (?1) （C） f (1) ??f (?1) 2
（D） f (1) ??f (?1) 【详解】设 g(x) ? ( f (x))2 ，则 g?(x) ? 2 f (x) f ?(x) ? 0 ，也就是 ? f (x)?是单调增加函数．也就得到
? f (1)?
2
? ? f (?1)???f (1) ??f (?1) ，所以应该选（C）
?
2
4.
1 ??? 1 若级数? sin ? k ln(1? )?收敛，则k ? （ ?n n ? n?2 ?（A）1
（B） 2
）
（D） ?2
（C） ?1
1
考研数学真题及解析 2
1 1 1 ? 1 1 ? 1 ???? 1 ??1 k 1 ? 1 ??
o 【详解】iv n ? ? 时sin ? k ln(1? ) ? ? k ? ? ? ? ? o ? 2 ? ? (1? k ) ??2 ? 2 ??n? ? n n n nn 2 n n 2 n ? ? ? ? ??? ???
1
显然当且仅当(1? k ) ? 0 ，也就是 k ? ?1 时，级数的一般项是关于 的二阶无穷小，级数收敛，从而选择
n
（C）．
5. 设? 为n 单位列向量， E 为n 阶单位矩阵，则
（A） E ? ?? 不可逆
T
（B） E ? ?? 不可逆 （D） E ? 2?? 不可逆
T
T
T
T
T
T
（C） E ? 2?? 不可逆
T
【详解】矩阵?? 的特征值为1和 n ?1个 0 ，从而 E ? ?? , E ? ?? , E ? 2?? , E ? 2?? 的特征值分
T
别为0,1,1,?1； 2,1,1,?,1 ； ?1,1,1,?,1； 3,1,1,?,1 ．显然只有 E ? ?? 存在零特征值，所以不可逆， 应该选（A）．
T
6.
?
? 2 0 0 ??? 2 1 0 ??? 1 0 0 ??
??? ， ? ， 已知矩阵 A ???? 0 2 1 ?? 0 2 0 ?? 0 2 0 ??，则 B ?? ?C ?? ?
? 0 0 2 ??? 0 0 1 ??? 0 0 1 ??
? ??? ??? ??
（A） A, C 相似， B, C 相似
（B） A, C 相似， B, C 不相似 （D） A, C 不相似， B, C 不相似
（C） A, C 不相似， B, C 相似
【详解】矩阵 A, B 的特征值都是?1 ? ?2 ? 2, ?3 ? 1．是否可对解化，只需要关心? ? 2 的情况．
? 0 0 0 ???
对于矩阵 A ， 2E ? A ? 0 0 ?1? ，秩等于 1 ，也就是矩阵 A 属于特征值? ? 2 存在两个线性无关的
? ??? 0 0 1 ??? ??
特征向量，也就是可以对角化，也就是 A ~ C ．
? 0 ?1 0 ??
对于矩阵 B ， 2E ? B ? ? 0 0 0 ? ，秩等于 2 ，也就是矩阵 A 属于特征值? ? 2 只有一个线性无关的
? ??? 0 0 1 ??? ??
特征向量，也就是不可以对角化，当然 B, C 不相似故选择（B）．
7. 设 A, B ， C 是三个随机事件，且 A, C 相互独立， B, C 相互独立，则 A ? B 与C 相互独立的充分必
要条件是（ ）
（B） A, B 互不相容 （D） AB, C 互不相容
（A） A, B 相互独立
（C） AB, C 相互独立 【详解】
2
考研数学真题及解析 P(( A ? B)C) ? P( AC ? AB) ? P( AC) ? P(BC) ? P( ABC) ? P( A)P(C) ? P(B)P(C) ? P( ABC)
P( A ? B)P(C) ? (P( A) ? P(B) ? P( AB))P(C) ? P( A)P(C) ? P(B)P(C) ? P( AB)P(C)
显然， A ? B 与C 相互独立的充分必要条件是 P( ABC) ? P( AB)P(C) ，所以选择（C ）．
8.
1 n
? 设 X1, X 2 ,?, Xn (n ? 2) 为来自正态总体 N ( ,1) 的简单随机样本，若 X ? ??Xi ，则下列结论中不
n i?1
）
n
正确的是（
（B） 2 ? X n ? X ?2
2
2
21 服从
2
? 2 分布 （A） ( Xi ? ?) 服从
i?1
?
? 2 分布
? 分布 （C） ( Xi ? X )服从
i?1
?
n
（D） n( X ? ?)服从 ? 分布
n
2
解：（1）显然 ( X i ? ?) ~ N (0,1) ? ( Xi ? ?)~ ? (1), i ? 1, 2,?n 且相互独立，所以
2
2
2
? ?)服从 ( X ?i i?1
? 2 (n) 分布，也就是（A）结论是正确的；
n
2
2
(n ?1)S 2
2
（2） ( Xi ? X ) ? (n ?1)S ?
i?1
?
? 2
~ ? (n ?1) ，所以（C）结论也是正确的；
（3）注意 X ~ N (?, ) ??n ( X ? ?) ~ N (0,1) ? n( X ? ?)2 ~ ? 2 (1) ，所以（D）结论也是正确的；
1
n
（4）对于选项（B）： ( X ? X ) ~ N (0, 2) ?
n
1
Xn ? X1 1
~ N (0,1) ? ( X ? X )2 ~ ? 2 (1) ，所以（B）结
1
2 n 2
论是错误的，应该选择（B）
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） 9．
?
?????(sin3 x ??? 2 ? x2 )dx ???．
解：由对称性知
??(sin x ??
?
t
??3
? ? x )dx ? 2? ? ? x
02 2
??2 2
3 ??dx ? ．
2
10 .差分方程 y y t ?1 ? 2 t ? 2的通解为
x
．
【详解】齐次差分方程 y y y ? C2； t ?1 ? 2 t ? 0 的通解为
1 t
? at2，代入方程，得a ? ； 设 yt ?1 ? 2 yt ? 2的特解为 y t
2
t t 1 t? 2的通解为 y ? C2? t2. 所以差分方程 yt ?1 ? 2 yt
2
t
11 .设生产某产品的平均成本C(Q) ? 1? e
?Q
，其中产量为Q ，则边际成本为
.
3
考研数学真题及解析 【详解】答案为1? (1? Q)e?Q ．
平均成本C(Q) ? 1? e
?Q
，则总成本为C(Q) ? QC(Q) ? Q ? Qe
?Q
，从而边际成本为
C?(Q) ? 1? (1? Q)e?Q .
12 .
设函数 f (x, y) 具有一阶连续的偏导数，且已知 df (x, y) ? yeydx ? x(1? y)eydy ， f (0, 0) ? 0 ，则
f (x, y) ?
y
y
y
y
【详解】df (x, y) ? yedx ? x(1? y)edy ? d (xye) ，所以 f (x, y) ? xye? C ，由 f (0, 0) ? 0 ，得C ? 0 ，
所以 f (x, y) ? xyey ．
? 1 0 1 ???? ? ,???13 ． 设矩阵 A ? 1 1 2 ， ,? 为线性无关的三维列向量， 则向量组 A? , A??? ??1 2 3 1
? 0 1 1 ??
? ??
为
．
?????, A? 的秩
3
2
? 1 0 1 ? ? 1 0 1? ? 1 0 1 ??
【详解】对矩阵进行初等变换 A ? ? 1 1 2 ? ? ? 0 1 1? ? ? 0 1 1 ? ，知矩阵 A 的秩为 2，由于
? ? ? ? ? ??? 0 1 1 ? ? 0 1 1? ? 0 0 0 ??? ? ? ? ? ??
?1,?2 ,?3 为线性无关，所以向量组 A?1, A?2 , A?3 的秩为 2．
14．设随机变量 X 的概率分布为 P?X ? ?2? ? ， P?X ? 1? ? a ， P?X ? 3? ? b ，若 EX ? 0 ，则
1
2
DX ???．
【详解】显然由概率分布的性质，知a ? b ? ? 1
1
2
1 1 1
EX ? ?2 ? ?1? a ? 3? b ? a ? 3b ?1 ? 0 ，解得a ? , b ?
2 4 4
9 9
EX 2 ? 2 ? a ? 9b ? ， DX ? EX 2 ? E2 ( X ) ? ．
2 2
三、解答题
15．（本题满分 10 分）
?求极限 lim
x?0?
?
x
0x ? tet dt x3
【详解】令 x ? t ? u ，则t ? x ? u , dt ? ?du ，
??
0
x
x
uex?udu x ? tet dt ? ?0
x
?lim
x?0??
x 0
x ? tet dt x3
? lim
x?0??
?u?u
ex ?0
?uedu ? lim ?0 uedu x
x3
4
x?0??
x3
xe? x 2 ? lim ??x?0 3
x 32
?
考研数学真题及解析 16．（本题满分 10 分）
?
?【详解】
计算积分
y3
2
4 2
dxdy ，其中 D 是第一象限中以曲线 y x 与 x 轴为边界的无界区域．
D
y3
??
4 2
x
y3
(1? x? y)
2 4
x d (1? x? y)
2
4 2
?? (1? x
D
2
? y)
dxdy ? ?
0
dx?0
dy
1 ???
?
?
?
???dx
2
?0(1? x1 ? y4 )2 ? ?4 ?0
2 ??
1 ?? ? 1 ?dx ? 1? ?? ? 2??2 ?
8 ? 2 ??4 ?0 1? x 1? 2x?? ? ? ??
17．（本题满分 10 分）
? k ??
求 lim ??2 ln ?1? ??n?? k ?1 n? n ??
【详解】由定积分的定义
n
k
?lim ?
?
n
n???
k ?1
n
?
k ?k ? 1 k ?k ? ln 1? ? lim ?ln 1? ???1 x ln(1? x)dx ? ? ?2
n
?
n
?
18．（本题满分 10 分）
n ?
??k ?1
1 1 1? ?ln(1? x)dx2 ? 2 0 4
n??
n n
?
?
?
0
1
? ? k 在区间(0,1) 内有实根，确定常数k 的取值范围． 已知方程 ln(1? x) x
1
【详解】设 f (x) ?
1 ? 1 , x ?(0,1) ，则 ln(1? x) x
? f (x) ? ? ??2??2 2 x(1? x) ln2 (1? x) (1? x) ln(1? x) x
2
2
1 1
(1? x) ln2 (1? x) ? x2
令 g(x) ? (1? x) ln(1? x) ? x，则 g(0) ? 0, g(1) ? 2 ln2 ?1
2
g?(x) ? ln2 (1? x) ? 2 ln(1? x) ? 2x, g?(0) ? 0 g ?(x) ?
2(ln(1? x) ? x)
1? x
由于 g?(0) ? 0 ，所以当 x ?(0,1) 时，g?(x) ? g?0) ? 0 ，也就是 g(x) g?(x) 在(0,1) 上单调减少，当 x ?(0,1)
? 0, x ?(0,1) ，所以 g?(x) 在(0,1) 上单调减少，
时， g(x) ? g(0) ? 0 ，进一步得到当 x ?(0,1) 时， f ?(x) ? 0 ，也就是 f (x) 在(0,1) 上单调减少．
lim f (x) ? lim ?
?
x?0
1 11 1 ? x ? ln(1? x) 1 ??1 ，也就是得到 ?1 ? k ? ． ? ? ? lim ? ， f (1) ?? ? ??x?0 ln 2 ln 2 2 ? ln(1? x) x ? x?0 x ln(1? x) 2
?
1
5
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