作为教育任务的数学
【荷兰】弗赖登塔尔著，陈昌平、唐瑞芬等编译，上海教育出版社，1995年3月第一版 序言：
“教学法的颠倒”……
数学家从不按照他们发现、创造的真实过程来介绍他们的工作，实际上经过艰苦曲折的思维推理获得的结论，常以“显然”二字一笔带过。教科书更是常将通过分析法所得的结论采取综合法的形式来叙述，也就是说文字表达思维过程与实际获得的发现过程完全相反，因而严重阻塞了“再创造”的通道。
P1： 思维实验的目的就在于找出学生怎样才能把他要学的知识“再创造”出来。 P4： 这类研究工作在技术上无论怎样的完善，都不能回答教育的基本问题，即该教什么？为什么目的而教？拿这些内容教谁？ 我要批评的是这类研究工作背后的思想，也就是要指出，用统计数字把自己装扮起来并不就是把自然科学的精确性引入到教育研究中来。那种自负地宣称小数点后面第七位数字是准确的而无视小数点左边的数字都错了的态度，并不是科学的态度。 我不是从这样的一些实验中学，而是从自己的或别人的课堂教学经验中，从教科书中以及有经验的教师关于教科书和学习表现的实事求是的分析中，学到了不少的东西。
P4： 真正的教育活动意味着遵循自己的真诚信念去探索正确的教育途径，而教育科学首先应该是对这种真诚信念的合理性作出论证，你可以把它称为哲学。但不管我们叫它做什么，它是不可或缺的，任何细节的研究都无法代替它的。相反，只有在健康的教育哲学的土壤上，具体的研究工作才能兴旺起来。
编译者序：
P2： 弗赖登塔尔的两方面的看法：
第一方面，对数学的看法。数学是系统化了的常识。……数学比其他任何自然科学都更易于创造：一个聪明的儿童，靠自己就能发现或创造出许多数学知识。…… 常识要成为数学，它必须经过提炼和组织，而凝聚成一定的法则。这些法则在高一层次里又成为常识，
再一次被提炼、组织，而凝聚成新的法则，新的法则又成为新的常识，如此不断地螺旋上升，以至于无穷。这样，数学的发展过程就显出层次性，构成许多等级；同时也形成诸多如抽象、严密、系统等特性。一个人在数学上能达到怎样的层次，则因人而异，决定于他的先天和后天条件。但是，一个为多数人都能达到的层次必然存在。数学教育家的任务就在于帮助多数人达到这个层次，并努力不断地提高这个层次，和指出达到这个层次的途径。
第二方面，关于学习方法的看法。弗赖登塔尔反复强调：学习数学的唯一正确方法是实行“再创造”，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来；教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造的工作，而不是把现成的知识灌输给学生。他认为这是一种最自然、最有效的学习方法。说它最自然，是因为生物学上“个体发展过程是群体发展过程的重现”这条原理在数学学习上也是成立的，即：数学发展的历程也应在个人身上重现，这才符合人的认识规律。……弗赖登塔尔说，他所说的“再创造”是指应该使学生体验到：如果当时的人有幸具备了我们现在有了的知识，他们是怎样把那些知识创造出来的。（波利亚：重蹈数学发现的关键性步子。）……说这种方法最有效，是因为只有通过自己的再创造而获得的知识才真正被掌握，和可以灵活应用；而更为重要的是，数学是人的一种活动，如同游泳一样，要在游泳中学会游泳，我们也必须在做数学中学习数学，也就是在创造数学中学习数学。 数学家向来都不是按照他创造数学的思维过程去叙述他的工作成果，而是恰好相反，把思维过程颠倒过来，把结果作为出发点，去把其他的东西推导出来。弗赖登塔尔把这种叙述方法称为“教学法的颠倒”，指出了这种颠倒掩盖了创造的思维过程，如果学习者不实行再创造，他对学习的内容就难以真正的理解，更谈不上灵活应用了。
P4： “再创造”是弗赖登塔尔关于数学教学方法的基本思想，它是学习的基本方法，也是判断教法好坏的基本准则。……与其说让学生学习公理体系，不如说让学生学习公理化；与其说让学生学习形式体系，不如说让学生学习形式化。一句话，与其说让学生学习数学，不如说让学生学习数学化。
第一章：数学的传统
P2： 学生之所以要及早学习数学，是因为数学是智力的磨刀石。
P3： 希腊人的贡献就在于把证明变成了数学中的一项原则。 什么是演绎体系？自古至今，亚里士多德的解释最为清楚。他说，任何真正的科学都始于原理，以它们为基础，并由之而导出一切结果来。
P8： 事实上，希腊数学和巴比伦数学一样，远远超越了它们的应用——超越多远？这可以从圆锥曲线的理论看出一斑：它们诞生后经过了两千年，到开普勒发现行星的轨道是椭圆时，才得到了应用。这其实是数学的特性……它寻求各种思想模式，以供应用者选择使用。
第四章：数学教育的用处和目的
P63： 数学教育最大的问题就是用处与目的之间的分歧，任何一个其他的教育领域，都不像数学教育那样，在无用处的目的与无目的的用处之间有着如此之大的距离。
P64： 他们所教的算术是自身能力的顶点和极限。 如果一个教育工作者只知道所教的那些，并不知道得更多，那他总是错误的。他不懂得站得高可以望得远，他会把仅有的一点知识捧上了天。…… 为学校设计数学教学计划而又不了解学校的数学家，从来没有想到学校中还有什么事情比学习数学更重要，这些人也像那些计算迷（特指）一样，陷入了狭隘的观念之中。
P65： 我担心结果是：不少国家在低年级教“数学”的人甚至不懂得什么是数学。……我不能确定真正的数学是否已经渗入到了低水平的算术。
P66： （如何设置数学课程？）首先考虑到，存在一种约束，那就是学生的接受能力。……其次，某个题材能教，并不等于说这个题材就应该教。
P67： 我们应该反复强调人们最容易忘记的一点：除了未来的数学家以外，还有很多人必须学数学，其中只有少数人会用到一些比较复杂的数学，大多数人只用一些简单的数学，而即使那些从不应用数学的人，也应该学数学，因为数学已经成了人类生存所不可缺少的一个方面。
P68： 学生当然应该学习数学化——我是指从现实情境的数学化开始，而数学情境的数学化可能是结果而并非出发点。
P70： ……从小学、中学一直到大学，就形成了一个奇迹——非数学化的自然科学。……自然科学的这种非数学化，同时损害了数学教育与自然科学教育。（数学教师应学习相关的科目，了解数学如何在这些课目中应用；自然科学教师应学习必要的数学，了解如何在自然科学中应用数学。）
P72： 不要教孤立的片断，应该教连贯的材料……因为有联系的事物学得快，记得牢。 P73： 数学的最大优点就是它的灵活性。数学如果为了迎合某些应用而失去了灵活性，它就僵化了。我并不要求学生学应用数学，我只是希望他能学会如何去用数学。（起码要让他知道数学有用！）……所以我宁愿以多方面联系的数学来代替应用数学。（数学与外部的联系，
而非仅仅是数学内部的联系！）
P74： 数学依附于现实结构，虽然起初似乎与数学无关，在成长过程中这种联系会得到发展 。对非数学家而言，与亲身经历的现实的联系将是至关重要的。
P74： 一些试验者声称，已经证明了这个或那个事可教的，我认为并不奇怪，儿童确实能学所有你想教的东西，但儿童也将很快地完全忘记。一个教学实验如果不涉及教材的深度及保持的时间有多久，那是没有意义的。而决定其深度的不是别的，就是与现实生活经历的联系，而这些联系又保证了记忆的持久性。 当然不排斥内在的数学联系，只要它们是有效的。但不应狭义地把内在联系局限于演绎体系。
P75： （关于联系，他特别提到类比的重要性！）类比是建立数学内部与外部联系的一个极为有效的手段，因为在试图使整个世界系统化的所有手段中，它是最自然、最基本的，即使在较高水平也仍然具有生命力，学生甚至在学数学以前就知道。
P76： 重要的并不在于一个人所学的数学是被记住了还是被忘记了，而是在于它是否仍然具有活力，是否能起作用，这同样是个人生活与人类历史的规律。 要保证有活力，就必须教给学生充满着联系的数学。
P82： 真正能够起到思维训练作用的是数学方法而不是具体的题材，因而必须强调方法，并尽可能使之明确。
P83： 不管数学是否作为一种思维训练，它对语言运用方法的影响是显然的。加上语言的通用性，它和我们所有的智力表达与智力活动都有联系，因此数学语言的特性可以超越数学的范围而起作用。
P85： 如果不通过新旧定义的比较进行再创造，只是鹦鹉学舌一样，把它当作一个既成事实接受下来，那也不是思维训练；只有依赖于自身的方式，联系多方面相关的背景，来获得相应的数学专门语言，这才是一种思维的训练。
P89： 不是将详细整理好的证明提供给学生，而是必须让学生自己发现粗略的证明，自己加以整理。
第五章：苏格拉底的方法
P94： 狭义地说，苏格拉底所做的就是在教学过程中再创造或再发现所教的东西。题材都是在学生的眼前发生而不是教条式地灌输。虽然苏格拉底方法中，学生自己的活动是虚构的，但是应该让学生有这种感觉，那就是所教的东西都是在上课的过程中产生的，而教师实质上只是一个助产士。
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