DF?AB?2.
∵?OCM与?ABP面积之和等于?EMP的面积，
1?5ED. ∴ED?4,EF?2.…………………(9分) 2EFMP∵PM∥OA，∴?EMP∽?EOA. ∴.…………………(10分) ?EDOA54452y即?，解得y?. ∴由（2）y?x?得，x??.………(11分)
2xx245∴S?EOA?S矩OABC?2?5?解得x1?5?895?89,x2?（不合题意舍去）. ……………………(12分) 445?89，使?OCM与?ABP面积之和等于?EMP的面积. 4∴在点P的运动过程中，存在x?26．在直角坐标系xoy中，A(0,2)、B(?1,0)，将?ABO经过旋转、平移变化后得到如图15.1所示的?BCD.
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）连结AC，点P是位于线段BC上方的抛物线上一动点，若直线PC将?ABC的面积分成1:3两部分，求此时点P的坐标；
（3）现将?ABO、?BCD分别向下、向左以1:2的速度同时平移，求出在此运动过程中?ABO与?BCD重叠部分面积的最大值.
yACBODxOyx
图15.1图15.2考点：二次函数，三角形相似，考查解决问题的能力。 解析：
（1）∵A(0,2)、B(?1,0)，将?ABO经过旋转、平移变化得到如图4.1所示的?BCD，
∴BD?OA?2,CD?OB?1,?BDC??AOB?90.∴C?1,1?.…………………(1分)
?设经过A、B、C三点的抛物线解析式为y?ax?bx?c，
2?a?b?c?031?则有?a?b?c?1，解得：a??,b?,c?2.
22?c?2?yAPECx321∴抛物线解析式为y??x?x?2.…………………(4分)
22（2）如图4.1所示，设直线PC与AB交于点E.
B∵直线PC将?ABC的面积分成1:3两部分， AE1AE∴?或?3，…………………(5分) BE3BE过E作EF?OB于点F，则EF∥OA.
EFBEBF ∴?BEF∽?BAO,∴. ??AOBABOAE1EF3BF∴当， ?时，??BE32413313∴EF?,BF?，∴E(?,).…………………(6分)
244227设直线PC解析式为y?mx?n，则可求得其解析式为y??x?，
55321272∴?x?x?2??x?，∴x1??,x2?1（舍去），
22555239∴P(?,).…………………(7分) 1525AE623当?3时，同理可得P2(?,).…………………(8分) BE749（3）设?ABO平移的距离为t，?A1B1O1与?B2C1D1重叠部分的面积为S.
FOD图4.1t?2,0). 2111C1B2的解析式为y?x?t?，C1B2与y轴交点坐标为(0,t?). ………(9分)
2223 ①如图4.2所示，当0?t?时，?A1B1O1与?B2C1D1重叠部分为四边形.
5可由已知求出A1B1的解析式为y?2x?2?t，A1B1与x轴交点坐标为(设A1B1与x轴交于点M，C1B2与y轴交于点N，A1B1与C1B2交于点Q，连结OQ.
4t?3?x??y?2x?2?t?4t?35t??3由?，得 ，∴Q(,).……………(10分) ?11y?x??t33??y?5t?22?3?∴S?S?QMO?S?QNO?yA1QB2MNC1x12?t5t113?4t ????(t?)?2232231321 ??t?t?.
12425∴S的最大值为.…………………(11分)
52
②如图4.3所示，当
B1OD1O1图4.2y34?t?时，?A1B1O1与?B2C1D1重叠部分为直角三角形. 55C1A1设A1B1与x轴交于点H， A1B1与C1D1交于点G.则G(1?2t,4?5t)，
2?t4?5tG，D1G?4?5t. ?1?2t?H22D1OB2114?5t1∴S?D1HD1G?(4?5t)?(5t?4)2.…………………(12分) B1O12224341∴当?t?时，S的最大值为.
554图4.325综上所述，在此运动过程中?ABO与?BCD重叠部分面积的最大值为.…………………(13
52D1H?分)
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