，即 ， 则
取 ，则 ，
同理可得平面 的法向量为 ， 又
，
∴ 二面角 的余弦值为 ．
【考点】
平面与平面垂直
二面角的平面角及求法 【解析】
Ⅰ 通过勾股定理可得 ，利用面面垂直的判定定理即得结论；
Ⅱ 通过题意以 为原点， 、 、 分别为 、 、 轴建立坐标系，所求二面角的余弦值即为平面 的一个法向量与平面 的一个法向量的夹角的余弦值，计算即可． 【解答】
Ⅰ 证明：∵ ， ， ， ∴ ，∴ ， 又 ，∴ ，
∴ ，即 ， ∵ 底面 ，∴ ，
又∵ ，∴ 平面 ，∴ 平面 平面 ； Ⅱ 由 可知 为 与平面 所成的角， ∴ ，∴ ， ，
由 及 ，可得 ， ，
以 为原点， 、 、 分别为 、 、 轴建立坐标系， 则 ， ， ， ， 设平面 的法向量为 ， ，即 ， 则
取 ，则 ，
试卷第13页，总20页
同理可得平面 的法向量为 ， 又
，
∴ 二面角 的余弦值为 ．
20. 已知椭圆 的右焦点 ，点 在椭圆 上．
Ⅰ 求椭圆 的标准方程；
Ⅱ 直线 过点 ，且与椭圆 交于 ， 两点，过原点 作直线 的垂线，垂足为 ，如果 的面积为
（ 为实数），求 的值．
【答案】
Ⅰ 由题意知： ，左焦点 ．
根据椭圆的定义得： ，
解得 ，∴ ， ∴ 椭圆 的标准方程为： ；
Ⅱ 由题意知， 整理得： ．
①当直线 的斜率不存在时， 的方程为： ， 此时 ， ， ∴ ；
②当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为： ， 设 ， ，
，
联立
，消去 整理得： ，
显然 ，则 ，
∵ ， ， ∴
，
试卷第14页，总20页
，
∴ 此时，
，
；
综上所述， 为定值 ． 【考点】
直线与椭圆结合的最值问题 【解析】
Ⅰ 通过右焦点 可知： ，左焦点 ，利用 可得 ，进而可得结论； Ⅱ 通过
，可得 ，对直线 的斜率存在与否进行讨论．当直
线 的斜率不存在时，易得 ；当直线 的斜率存在时，设直线 的方程并与椭圆 方程联立，利用韦达定理、两点间距离公式、点到直线的距离公式计算亦得 ． 【解答】
Ⅰ 由题意知： ，左焦点 ．
根据椭圆的定义得： ，
解得 ，∴ ， ∴ 椭圆 的标准方程为： ；
Ⅱ 由题意知， 整理得： ．
①当直线 的斜率不存在时， 的方程为： ， 此时 ， ， ∴ ；
②当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为： ， 设 ， ，
，消去 整理得： ， 联立
显然 ，则 ，
∵ ， ， ∴ ， ∴
，
，
， ；
试卷第15页，总20页
此时， 综上所述， 为定值 ．
21. 设函数 ．
Ⅰ 已知函数在定义域内为增函数，求 的取值范围； Ⅱ 设 ，对于任意 ，总存在 ，使
成立，求实数 的取值范围．
【答案】
Ⅰ ∵ 函数 ∴ ………… ′ ∵ 函数在定义域内为增函数， ∴ 在 上恒成立， 即 在 上恒成立，………… ′
而 ， ，当且仅当 时，“ ”成立
即 的最小值为 ， ∴ ………… ′ Ⅱ ∵ ∴
………… ′
∵ ， ∴
，
∴ ′ ，故 在 上单调递增
∴ 当 时， 取最大值
，………… ′ 在 上恒成立．
令 ，则 ，且 在 内恒成立，
当 时， ， 在 上单调递减 ，不合题意
得： 当 时，由 ′即 时， 在 ②
①
，
内单调递减，存在 不合题意，
，即 时， 在 内单调递增， 满足题意．
综上，实数 的取值范围为 ………… 【考点】
利用导数研究函数的单调性 【解析】
试卷第16页，总20页
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