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基础巩固强化
一、选择题
1．对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中真命题是( ) A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0 C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D．若a·b＝a·c，则b＝c [答案] B
[解析] a·b＝0?a⊥b，|a|2＝|b|2?(a＋b)·(a－b)＝0?(a＋b)⊥(a－b)；
a·b＝a·c?a⊥(b－c)；故A、C、D均错．
2．以下四个命题中正确的是( )
A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示
B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则a，b，c全不是零向量
→→
C．△ABC为直角三角形的充要条件是AB·AC＝0 D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底
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[答案] B
[解析] 使用排除法．因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故A不正确；△ABC为直角三角形并不一定．．．→→→→→→
是AB·AC＝0，可能是BC·BA＝0，也可能是CA·CB＝0，故C不正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故D不正确，故选B.
→→→→
3．长方体ABCD－A1B1C1D1中，若AB＝3i，AD＝2j，AA1＝5k，则AC1
＝( )
A．i＋j＋k C．3i＋2j＋5k [答案] C
→→→→→→
[解析] AC1＝AB＋BC＋CC1＝AB＋AD＋AA1＝3i＋2j＋5k.
→
→
11
A．－a＋b＋c
2211
C.a－b＋c 22[答案] A [解析]
→
11
B.a＋b＋c 2211
D．－a－b＋c
22
→
4．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M.设A1B1＝a，A1D1
＝b，A1A＝c，则下列向量中与B1M相等的向量是( )
→
111
B.i＋j＋k 325D．3i＋2j－5k
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→
B1M＝B1A1＋A1A＋AM 1→
＝－A1B1＋A1A＋AC
21→1→
＝－A1B1＋A1A＋A1B1＋A1D1
2211
＝－a＋b＋c.
225．给出下列命题：
①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可作为空间的基底；②已知向量a∥b，则a，b与任→
何向量都不能构成空间的一个基底；③A，B，M，N是空间四点，若BA，→→
BM，BN不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面；④已知向量组{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4 [答案] D
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→→→
→→
→→
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[解析] 根据基底的概念，空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，否则就不能构成空间的一个基底．显然②正确，→→→
③中由BA、BM、BN共面且过相同点B，故A、B、M、N共面．
下面证明①④正确．
①假设d与a、b共面，则存在实数λ，μ，使d＝λa＋μb，∵d与c共线，c≠0，
∴存在实数k，使d＝kc，
λμ∵d≠0，∴k≠0，从而c＝a＋b，
kk∴c与a、b共面与条件矛盾． ∴d与a，b不共面． 同理可证④也是正确的．
6．已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝19，则向量a与b之间的夹角〈a，b〉为( )
A．30° C．60° [答案] C
[解析] 由题意a＋b＝－c，两边平方得， |c|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos〈a，b〉， 即19＝4＋9＋2×2×3cos〈a，b〉， 1
所以cos〈a，b〉＝，所以〈a，b〉＝60°.
2二、填空题
7．若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得
B．45° D．以上都不对
xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是________．
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