中考数学复习考点知识与题型专题讲解94---利用几何变换解题

中考数学复习考点知识与题型专题讲解

利用几何变换解题

全日制义务教育数学新课程标准顺应几何推理要求发生的变化，将以往的“几何”拓广到“空间与图形”，增加了图形与变换的内容，让学生的思维从静态的图形转向动态的变化，图形与变换的内容主要包括图形的轴对称变换、平移变换、旋转变换以及图形的相似变换．前三种变换本质是保持两点间的距离不变，从而使变换图形的大小和形状不改变；而相似变换会改变图形的大小，但不改变形状利用变换解决问题，关键就是利用变换的不变性优化问题隐含的条件，给问题的求解带来机遇，本文举例说明，希望对同学们的学习有启迪作用． 一、旋转变换

例1 如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在AB边上，连CD，将线段CD绕点C顺时针旋转90°至

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CE位置，连结AE． (1)求证：AE⊥AB；

(2)若BC＝AD．AB，求证：四边形ADCE为正方形． 解 (1)由∠ACB＝90°，AC＝BC，知 ∠CAB＝∠CBA＝45°，且线段BC绕点C顺时 针旋转90°至AC；又CD绕点C顺时针旋转90° 至CE位置，故△BCD绕点C顺时针旋转90° 得△ACE，∠CAE＝∠CBA＝45°． ∴∠CAB＋∠CAE＝45°＋45°＝90°， 即AE⊥AB． (2)略．

点评 对题设中含有等腰三角形、正方形的几何问题，常采用旋转变换考察，本题第(1)小题也可以用全等三角形论证，但论述不如从变换的角度考察问题来得方便．

例2 探究 如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD

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＝90°，AB＝AD，AE⊥CD于点E．若AE＝10，求四边形ABCD的面积．

拓展 如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AB＝AD，AE⊥BC于点E．若AE＝19，BC＝10，CD＝6，则四边形ABCD的面积为_______．

解 探究 因为∠BAD＝90°，AB＝AD，所以Rt△AED绕点A顺时针旋转90°得 △AFB，

AF＝AE，∠EAF＝90°， ∠AFB＝∠AED＝90°． 又∠ABF＋∠ABC

＝∠ADC＋∠ABC＝180°．

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