二. 导数与微分的计算
1) 四则运算求导公式.
2) 复合函数求导公式: [f(g(x))]??f?(g(x))?g?(x). 3) 微分计算公式: df(x)?f?(x)dx.
注意: 微分等式中变量x可用任意可导函数g(x)作代换.
dxd2yddydx?(), . 2dtdxdtdtdx5) 隐函数求导法: 方程两边同时对x求导, 注意f(y)中y为中间变量.
g(x)g(x)?[g(x)lnf(x)]?. 6) 幂指函数求导公式: {[f(x)]}??[f(x)]dydy4) 参数方程求导公式: ?dxdt7) 取对数求导法: 设y?[f1(x)]?1(x)?[fn(x)]?n(x), 则有
lny??1(x)lnf1(x)????n(x)lnfn(x)
d[f(x)dx]?f(x). dx?9) 设f(x)为连续函数, u(x),v(x)可导, 则有变限积分函数求导公式
du(x)f(t)dt?f[u(x)]?u?(x)?f[v(x)]?v?(x) ?v(x)dxdf(x)2?_____ . 例1. 设f?(x)?sinx 则dxf(x)]，则dy?_____ . 例2. 设y?f(u)可导，y?f[e例3. 设y?lnx，当x?2,?x?0.01时，dy?_____ . 解题提示: 自变量的微分等于自变量的增量, 即dx??x.
8) 设f(x)为连续函数, 则有例4. 例5. 例6.
设
?f(x)dx?lnx2?1?1x?1?12?C，求f(x).
设f(x)为连续函数, 且F(x)??lnx1xf(t)dt, 则F?(x)?_____.
dx22求xf(t)dt, 其中f(t)为已知的连续函数. dx?0解题提示: 例7.
?x20xf(t)dt?x22?x20f(t)dt.
dx2求xf(x?t)dt, 其中f(t)为已知的连续函数. ?0dx解题提示: 令u?x?t, 例8.
?x20f(x?t)dt???x?x2xf(u)du.
设f(x)?x(x?1)(x?2)?(x?n), 则f?(0)?_____.
解题提示: f?(x)?(x?1)?(x?n)?x[(x?1)?(x?n)]?.
例9. 若f(?x)?f(x), 在(0,??)内f?(x)?0,f??(x)?0, 则f(x)在(??,0)内
( ).
(A) f?(x)?0,f??(x)?0; (B) f?(x)?0,f??(x)?0;
(C) f?(x)?0,f??(x)?0; (D) f?(x)?0,f??(x)?0. 解题提示: f(x)为偶函数. 试证明: 1) 可导偶函数的导数为奇函数; 2) 可导奇函数的导数为偶函数.
例10. 设函数y?y(x)由方程xef(y)?ey确定, 其中f具有二阶导数, 且f??1, 求
d2y. 2dx1, 求y?. x1111解题提示: lny?lnx?x?lnsin.
4816xt2?d2y?x??0f(u)du例12. 设? 其中f(u)具有二阶导数, 且f(u)?0, 求. 222dx??y?[f(t)]例11. 设y?4xexsin
高阶导数与泰勒公式 1) 莱布尼兹公式: (uv)(n)k(n?k)(k)??Cnuv. k?0n 2) 函数f(x)在点x?a处带拉格朗日型余项的n阶泰勒展开式:
(a)f(n?1)(?)nf(x)?f(a)?f?(a)(x?a)???(x?a)?(x?a)n?1
n!(n?1)!其中??a??(x?a), 0???1, 即?介于a与x之间. 当a?0时, 称麦克劳林公式. 3) 函数f(x)在点x?a处带皮亚诺型余项的n阶泰勒展开式:
f(n)f(n)(a)f(x)?f(a)?f?(a)(x?a)???(x?a)n?o[(x?a)n]
n!例13. 求下列函数的n阶导数: 1) y?ln(x?1); 2) y?coskx;
x3) y?xe;
4) y?ecosx. 5) y?sinxsin3x.
解: 4) y??ecosx?esinx? y(n)xxx2excos(x??4),
n?). 4例14. 求函数f(x)?ln(1?x)在点x?0处带拉格朗日型余项的n阶泰勒展开式.
2例15. 求函数f(x)?xln(1?x)在点x?0处带皮亚诺型余项的5阶泰勒展开式.
?(2)nexcosx(?x10(10)(x)?_____. 例16. 设f(x)?, 则f1?x1(n)n!1)??(x9?x8???x?1), (解题提示: f(x)?. a?x(a?x)n?11?x2x例17. 求函数f(x)?xe在x?0处的n阶导数f(n)(0)(n?3).
解题提示: 1) 利用莱布尼兹公式 (uv)x(n)k(n?k)(k)??Cnuv. k?0nxn?o(xn)及麦克劳林公式. 2) 利用e?1?x???n!xn?o(xn) 解: e?1?x???n!xn23f(x)?x?x????o(xn),
(n?2)!x1f(n)(0)(n)? , f(0)?n(n?1).
(n?2)!n!?sinx?,x?0(4)例18. 设f(x)??x, 求f(0).
?x?0?1,x3x5(?1)n?1x2n?1?????o(x2n?1). 解题提示: sinx?x?3!5!(2n?1)!1arcsinx, 求y(n)(0). 例19. 设y?1?x22(n?1)?(2n?1)xy(n)?n2y(n?1)?0. 解题提示: 建立递推公式(1?x)y
三. 不定积分的计算:
1. 常用公式:
?tanxdx??ln|cosx|?C; ?cotxdx?ln|sinx|?C;
?secxdx?ln|secx?tanx|?C; ?cscxdx?ln|cscx?cotx|?C;
?dx?1arctanx?C; ?dx?1ln|x?a|?C; ?2?2?x?a2a?x?a22aax?adxxdx??; ?arcsin?C?ln|x?x2?a2|?C. ??a?a2?x2?x2?a2
2. 分项法: 通过代数或三角恒等变形把所给不定积分化为基本积分公式中的积分或常
见的积分类型.
例1. 计算下列不定积分:
41?xdx??x?sinxdx. dx1) ?; 2) ; 3) ???1?cos2x?sin2xcos2x?1?x2
3. 第一换元法(凑微分法): 设F为f的原函数, u??(x)可导, 则有
如何确定中间变量u??(x)?
?f[?(x)]??(x)dx??f[?(x)]d?(x) [凑微分: ??(x)dx?d?(x)] ?F[?(x)]?C. [换元: ?f(x)dx?F(x)?C中x换为?(x)]
A) 从被积函数明显的复合部分f(u)去确定u. B) 通过凑微分确定u.
C) 从被积函数中复杂的部分去确定u. 例2. 计算下列不定积分: 1) ?tanx?1???2lntanx?1?lnxdx; dx; 3) ?dx; 2) ??22?sinxcosx?(xlnx)x?1xxdxx?edxdx; 4) ?x; 5) ?; 6) ??x?4?2e?1?1?x?e?1cosx?sinxdx??dx. 7) ?; 8) ?x?cosx?(1?ecosx)?x(1?x)xx解题提示: 8) (ecosx)??e(cosx?sinx).
4. 第二换元法(积分变量代换法): 设x??(t)单调可导, 则有
?f(x)dx??f[?(t)]??(t)dt.
积分变量代换法常见的有:
1) 作三角代换x?asint去根式a2?x2. 2) 作三角代换x?atant去根式a2?x2. 3) 作三角代换x?asect去根式x2?a2.
ax?b, t?eax?b.
cx?dx25) 对三角函数有理式作万能代换u?tan化为u的有理式, 其中有dx?du,
21?u21?u22u, cosx?. 作万能代换计算, 时常较繁, 不要滥用. sinx?1?u21?u24) 作根式代换t?n例3. 计算下列不定积分:
?dxdx?1?x2? 1) ?; 3) ?; dx; 2) ?23322?xx?a?1?x?(9?x)dxdx??2x; 5) ?1?edx; 6) ?. ?3?1?sinx?cosx?(x?x)?dx例4. 求?.
22?(x?1)x?2x22解题提示: x?2x?(x?1)?1, 作代换x?1?sect.
4) ?
5. 分部积分法: 常见类型有: 1)
?udv?uv??vdu.
axnn?P(x)sin(ax?b)dx, ?P(x)cos(ax?b)dx, ?P(x)edx. 取u?P(x).
2) ?xlnP(x)dx, ?xarctanxdx等. 取dv?xdx.
3) ?secxdx, ?esinbxdx,?ecosbxdx. 用分部积分法 “回归”.
n3axax例5. 1)
计算下列不定积分:
?lnx222?xdx; ; 2) ; 3) (x?x)sinxdx(x?x?1)edx?2???(1?x)arctanxax?lncosxdx; dx4) ?; 5) ; 6) ecosbxdx????cos2x?x2x?sin2x?arctanxdx; 9)?sinlnxdx. dx; 8) ?27) ??2?1?cos2xx(1?x)?
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