（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学必修四
§7 向量应用举例 7．1 点到直线的距离公式
课时目标 1．了解直线的方向向量、法向量．2．能利用直线的法向量推导点到直线的距离公式．3．能利用直线的法向量判断两直线的位置关系．
1．直线的法向量
(1)直线l：ax＋by＋c＝0 (a2＋b2≠0)的一个方向向量是__________，它的一个法向量是__________．
(2)直线l：y＝kx＋b的一个方向向量是__________，它的一个法向量是__________． 所以，一条直线的法向量有__________个，它们都是__________向量． 2．点到直线的距离公式
设点M(x0，y0)为平面内任一点，则点M到直线l：ax＋by＋c＝0 (a2＋b2≠0)的距离
d＝_____________________________________________________________________．
3．两平行线间距离
直线l1：ax＋by＋c1＝0与直线l2：ax＋by＋c2＝0 (a2＋b2≠0且c1≠c2)的距离
d＝_____________________________________________________________________．
4．两直线的位置关系
设直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0，直线l2：a2x＋b2y＋c2＝0的法向量依次为n1，n2．则： (1)l1⊥l2?______________?______________________________________________； (2)l1与l2重合或平行?__________?______________________．
一、选择题
1．点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是( ) 13232A． B． C． D． 2222
2．已知三点A(－2，－3)，B(19,4)，C(－1，－6)，则△ABC是( ) A．以A为直角顶点的直角三角形 B．以B为直角顶点的直角三角形 C．以C为直角顶点的直角三角形
D．锐角三角形或钝角三角形
3．已知直线l1：(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线l2：(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直，则实数m的值是( )
A．－2 B． 211
C．－2或 D．－或2
22
4．已知直线l1：ax＋2y＋6＝0与l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，则实数a的值是( ) 2
A．2 B．－1 C．2或－1 D．
3
5．已知直线l1：3x＋4y－12＝0，l2：7x＋y－28＝0，则直线l1与l2的夹角是( ) A．30° B．45° C．135° D．150°
6．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则两平行线间的距离是( )
131355513135A． B． C． D． 131355二、填空题
7．过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与直线y＝x＋m平行，则|AB|的值为________． 8．过点A(－2,1)且平行于向量a＝(3,1)的直线方程为________________． 9．过点A(2,3)且垂直于向量a＝(2,1)的直线方程是____________．
10．两条平行线l1：3x＋4y－2＝0与l2：6x＋8y－3＝0之间的距离为________．
三、解答题
11．已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D、E、F分别为边BC、
1
CA、AB的中点．
(1)求直线DE、EF、FD的方程；
(2)求AB边上的高线CH所在的直线方程．
12．已知M(x0，y0)为直线l：Ax＋By＋C＝0 (AB≠0)外一点． (1)求过点M与直线l垂直的直线l1； (2)求过点M与直线l平行的直线l2．
能力提升
13．已知向量c＝(0,1)，i＝(1,0)，经过原点O以c＋λi为方向向量的直线与经过定点
A(0,1)，以i－2λc为方向向量的直线交于点P，其中λ∈R，求点P的轨迹方程．
14．如图所示，在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(－3,4)，若点C在∠AOB→→
的平分线上，且|OC|＝2，求向量OC的坐标．
1．若直线方程为ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)，则(a，b)就是它的一个法向量，(b，－a)是它的一个方向向量；若直线方程为y＝kx＋b，则(1，k)就是它的一个方向向量，(k，－1)是它的一个法向量．
|ax0＋by0＋c|
2．点M(x0，y0)到直线l：ax＋by＋c＝0的距离d＝．利用该公式求点到
22a＋b直线的距离必须先将方程化为一般式．利用点到直线的距离公式可以推导出两条平行线ax＋by＋c1＝0与ax＋by＋c2＝0间的距离为|c1－c2|
．
a2＋b2
3．直线的法向量或方向向量在求两直线夹角、计算点到直线的距离或判断两条直线的位置关系中都有着重要应用，应熟练掌握．
§7 向量应用举例 7．1 点到直线的距离公式
答案
知识梳理
1．(1)(b，－a) (a，b) (2)(1，k) (k，－1) 无数多 共线 |ax0＋by0＋c||c1－c2|2． 3． 4．(1)n1·n2＝0 a1a2＋b1b2＝0
2222a＋ba＋b(2)n1∥n2 a1b2－a2b1＝0 作业设计 1．D 2．A
3．C [(m＋2)(m－2)＋3m(m＋2)＝(m＋2)(4m－2)＝0， 1
∴m＝－2或．]
2
4．B [直线l1的法向量n1＝(a,2)， 直线l2的法向量n2＝(1，a－1)， ∵l1∥l2，∴n1∥n2，
∴a(a－1)－1×2＝0，解得：a＝－1或a＝2． 当a＝－1时，l1：x－2y－6＝0，l2：x－2y＝0， ∴l1∥l2．
当a＝2时，l1：x＋y＋3＝0，l2：x＋y＋3＝0． ∴l1与l2重合，a＝2舍． 综上所述，a＝－1．]
5．B [设l1、l2的方向向量为v1，v2，则
v1＝(4，－3)，v2＝(1，－7)，
∴|cos〈v1，v2〉|＝＝|v1|·|v2|5×5∴l1与l2的夹角为45°．]
→→
6．D [AB＝(m＋2,4－m)，AB·(2,1)＝0， ∴m＝－8，∴直线AB方程为：2x＋y＋12＝0． |12－?－1?|135∴d＝＝．]
557．2
|v1·v2|
25
2＝22．
8．x－3y＋5＝0
解析 设P(x，y)是所求直线上的任一点， →
AP＝(x＋2，y－1)．
→
∵AP∥a．∴(x＋2)×1－3(y－1)＝0． 即所求直线方程为x－3y＋5＝0． 9．2x＋y－7＝0
→
解析 设直线上任一点P(x，y)，则AP＝(x－2，y－3)．
→
由AP·a＝2(x－2)＋(y－3)＝0， 得2x＋y－7＝0． 10．
10
解析 取直线l2的一个法向量为n＝(6,8)， 11
分别在直线l1和l2上任取一点M(0，)和P(，0)．
2211→
则PM＝(－，)，设PM与n的夹角为θ．
22→
∴点M到直线l2的距离
→
1
d＝|PM|·|cos θ|＝|PM|·|→|PM·n|
→→
PM·n→
|
|PM|·|n|
－3＋41
＝＝||＝．
|n|1010又∵两条平行线间的距离处处相等，
∴点M到直线l2的距离即为两平行线l1与l2间的距离，
∴两平行线l1：3x＋4y－2＝0与l2：6x＋8y－3＝0之间的距离为．
1011．解 (1)由已知得点D(－1,1)，E(－3，－1)，F(2，－2)． 设点M(x，y)是直线DE上任意一点，
→→→→
则DM∥DE，DM＝(x＋1，y－1)，DE＝(－2，－2)， ∴(－2)×(x＋1)－(－2)(y－1)＝0， 即x－y＋2＝0为直线DE的方程．
同理可求，直线EF，FD的方程分别为x＋5y＋8＝0，x＋y＝0． (2)设点N(x，y)是CH所在的直线上任意一点， →→→→
则CN⊥AB，∴CN·AB＝0．
→→
又CN＝(x＋6，y－2)，AB＝(4,4)， ∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0，
即x＋y＋4＝0为所求直线CH所在的直线方程． 12．解 (1)设P(x，y)为直线l1上任一点． →
由MP·(B，－A)＝0，
得(x－x0，y－y0)·(B，－A)＝0， ∴B(x－x0)－A(y－y0)＝0，即
1
x－x0y－y0A＝
B．
(2)设P(x，y)为直线l2上任一点，
→
由MP·(A，B)＝0．
∴(x－x0，y－y0)·(A，B)＝0． ∴A(x－x0)＋B(y－y0)＝0． 13．解 设P点坐标为(x，y)， ∵i＝(1,0)，c＝(0,1)，
∴c＋λi＝(λ，1)，i－2λc＝(1，－2λ)，
直线OP与AP的方程分别为λy＝x和y－1＝－2λx， 消去参数λ，所求的轨迹方程为2x2＋y2－y＝0．
14．解 如图所示，已知A(0,1)，B(－3,4)，过B作BD∥y轴，与OC的延长线交于点
D，过D作OB的平行线交y轴于E，所以四边形OBDE为菱形，
所以D(－3,9)，E(0,5)．
→
设C(x1，y1)，|OD|＝3所以OC＝
→
23
10
10，
OD，
2
→
所以(x1，y1)＝
310
(－3,9)，
x＝×?－3?，??310
所以?2
y＝×9，??310
11
2
10
??x＝－5，所以?
310??y＝5，11
?10310???，
所以C?－，
55????10310?→??．
所以OC＝?－，55???
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