精 品 试 卷
第13讲 抽象函数
1．(2017年江西南昌二模)已知函数f(x)＝sin x－x，则不等式f(x＋2)＋f(1－2x)<0的解集是( )
1???1?A.?－∞，－? B.?－，＋∞? 3???3?
C．(3，＋∞) D．(－∞，3)
2．下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是( )
3xA．f(x)＝x B．f(x)＝3
2?1?xC．f(x)＝x D．f(x)＝??
3?2?
1＋fx3．已知函数f(x)满足：f(1)＝2，f(x＋1)＝，则f(2015)＝( )
1－fx11
A．2 B．－3 C．－ D.
23
4．给出下列三个等式：f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(x＋y)＝f(x)f(y)，f(x＋y)＝fx＋fy.下列函数中，不满足其中任何一个等式的是( )
1－fxfyxA．f(x)＝3 B．f(x)＝sin x C．f(x)＝log2x D．f(x)＝tan x
2
5．已知奇函数y＝f(x)的导函数f′(x)<0在R上恒成立，且x，y满足不等式f(x－
222
2x)＋f(y－2y)≥0，则x＋y的取值范围是( )
A．[0,2 2] B．[0,2] C．[1,2] D．[0,8]
?3?6．定义在R上的函数y＝f(x)满足f(3－x)＝f(x)，?x－?f′(x)<0，若x1 ＋x2>3，则( ) A．f(x1)>f(x2) B．f(x1) D．f(x1)与f(x2)的大小关系不确定 2 7．已知函数y＝f(x－1)＋x是定义在R上的奇函数，且f(0)＝－1，若g(x)＝1－f(x＋1)，则g(－3)＝________. 13x8．(2017年江苏)已知函数f(x)＝x－2x＋e－x， 其中e是自然对数的底数．若f(ae 2 －1)＋f(2a)≤0，则实数a的取值范围是________． 9．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f??＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时， x?x1??2? f(x)<0. (1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的单调性； (3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)<－2. 推荐下载 精 品 试 卷 10．设f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，且对任意a，b∈[－1,1]，当a＋b≠0时，fa＋fb都有>0. a＋b(1)若a>b，比较f(a)与f(b)的大小； ?1??1?(2)解不等式f?x－? 2 (3)记P＝{x|y＝f(x－c)}，Q＝{x|y＝f(x－c)}，且P∩Q＝?，求c的取值范围． 推荐下载 精 品 试 卷 第13讲 抽象函数 1．D 解析：函数f(x)是定义在R上的奇函数，且导函数是f′(x)＝cos x－1≤0，所以f(x)＝sin x－x是减函数，不等式f(x＋2)＋f(1－2x)<0?f(x＋2) 3333 2．B 解析：由f(x＋y)＝(x＋y)，f(x)f(y)＝x·y＝(xy)，得f(x＋y)≠f(x)f(y)， x＋yxyx＋y所以A错误；由f(x＋y)＝3，f(x)f(y)＝3·3＝3，得f(x＋y)＝f(x)f(y)．又函数f(x)＝3x是定义在R上的增函数．故选B. 1 3．C 解析：方法一，由条件知，f(2)＝－3，f(3)＝－， 2 1 f(4)＝，f(5)＝f(1)＝2，故f(x＋4)＝f(x)(x∈N*)． 3 1 ∴f(x)的周期为4，故f(2015)＝f(3)＝－. 21＋fx＋1 方法二，严格推证如下：f(x＋2)＝＝－， 1－fx＋fx∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝f(x)，即f(x)的周期为4. 1* 故f(4k＋x)＝f(x)(k∈N)，即f(2015)＝f(3)＝－. 2 4．B 解析：选项A，函数满足f(x＋y)＝f(x)f(y)； 选项C，函数满足f(xy)＝f(x)＋f(y)； fx＋fy选项D，函数满足f(x＋y)＝. 1－fxfy22 5．D 解析：因为函数y＝f(x)为奇函数，所以f(x－2x)≥f(2y－y)．由函数y＝f(x) 22 的导函数f′(x)<0在R上恒成立，知函数y＝f(x)在R上为减函数，所以x－2x≤2y－y， 222222 即(x－1)＋(y－1)≤2.故x＋y的最小值为0，最大值为直径2 2.从而x＋y的最小值为0，最大值为直径的平方8. 3?3?6．A 解析：由f(3－x)＝f(x)知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．因为?x－?2?2? f′(x)<0， 33 所以当x<时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x>时，f′(x)<0，f(x)单调递减． 22 x1＋x233 因为x1 22222 7．2 解析：设h(x)＝f(x－1)＋x.由h(x)＝f(x－1)＋x为奇函数，得h(－x)＝－h(x)， 222 即f(－x－1)＋x＝－f(x－1)－x，所以f(－x－1)＝－f(x－1)－2x.由g(x)＝1－f(x＋ 2 1)，得g(－3)＝1－f(－2)＝1－[－f(1－1)－2×1]＝1＋f(0)＋2，又f(0)＝－1，所以g(－3)＝2. 1?1?－1，8.? 解析：f(－x)＝－x3＋2x＋e－x－－x＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数．因?2?e?为f′(x)＝3x－2＋e＋e≥3x－2＋2ee＝3x≥0，所以函数f(x)是增函数．又f(a2222,2 －1)＋f(2a)≤0，即f(a－1)≤－f(2a)＝f(－2a)．所以a－1≤－2a2a＋a－1≤0.解得 1 －1≤a≤. 2 9．解：(1)令x1＝x2>0，代入，得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0. 故f(1)＝0. (2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则>1. 推荐下载 2 x－x2x－x2 x1x2 精 品 试 卷 由于当x>1时，f(x)<0，∴f??<0， 即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1) ?x1??9?(3)由f??＝f(x1)－f(x2)，得f??＝f(9)－f(3)． ?x2??3?而f(3)＝－1，∴f(9)＝－2. 由于函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减， ∴当x>0时，由f(|x|)<－2，得f(x) 因此不等式的解集为{x|x>9，或x<－9}． 10．解：设－1≤x1 ∵x1－x2<0，∴f(x1)＋f(－x2)<0. ∴f(x1)<－f(－x2)． 又f(x)是奇函数，∴f(－x2)＝－f(x2)． ∴f(x1) (1)∵a>b，∴f(a)>f(b)． ?1??1?(2)由f?x－? ?x1??x2? ??1 得?－1≤x－≤1， 411?x－ 1 －1≤x－≤1， 2 15∴－≤x≤. 24 ???15 ∴不等式的解集为?x?－≤x≤4???2 ?? ?. ?? (3)由－1≤x－c≤1，得－1＋c≤x≤1＋c. ∴P＝{x|－1＋c≤x≤1＋c}． 222 由－1≤x－c≤1，得－1＋c≤x≤1＋c. 22 ∴Q＝{x|－1＋c≤x≤1＋c}． ∵P∩Q＝?， 22 ∴1＋c<－1＋c或－1＋c>1＋c. 解得c>2，或c<－1. ∴c的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)． 推荐下载
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