11?2n1?111
因此? ＝2?1－＋－＋…＋－?＝.
223nn＋1Sn＋1k??k＝12n
答案：
n＋1
112123123
16．(2017·石家庄二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{an}为，，，，，，，，，
233444555412n－1，…，，，…，，…，若Sk＝14，则ak＝________. 5nnn
12n－11＋2＋…＋n－1n112n1＋2＋…＋n
解析：因为＋＋…＋＝＝－，＋＋…＋＝＝
nnnn22n＋1n＋1n＋1n＋1n11212312n11
，所以数列，＋，＋＋，…，＋＋…＋是首项为，公差为的等差数列，所2233444n＋1n＋1n＋12213nn＋nn＋n7以该数列的前n项和Tn＝＋1＋＋…＋＝.令Tn＝＝14，解得n＝7，所以ak＝.
222448
7
答案：
8
[B级——中档小题强化练]
an
1．(2017·张掖模拟)在等差数列{an}中，是一个与n无关的常数，则该常数的可能值的集合为
a2n
( )
A．{1}
??1??C.?? ??2??
?1???
?? 1， B.
2?????1???
D.?0，，1?
2????
2
2
n
解析：选B
ana1＋n－1da1－d＋nd
＝＝， a2na1＋2n－1da1－d＋2nd
an1an
若a1＝d，则＝；若a1≠0，d＝0，则＝1.
a2n2a2nan
∵a1＝d≠0，∴≠0，
a2n
??1???∴该常数的可能值的集合为1，?.
2????
1a4＋a5
2．(2017·长乐二模)已知各项均是正数的等比数列{an}中，a2，a3，a1成等差数列，则的值
2a3＋a4
为( )
A.
5－1
2
5－1
2
B.
5＋1
2
5－15＋1
或 22
2
C．－ D.
解析：选B 设{an}的公比为q(q＞0)，由a3＝a2＋a1，得q－q－1＝0，解得q＝5＋1
. 2
5＋1a4＋a5
.从而2a3＋a4
＝q＝412
3．(2018届高三·宝鸡摸底)正项等比数列{an}中，a2 017＝a2 016＋2a2 015，若aman＝16a1，则＋的最
mn小值等于( )
A．1 5C. 3
3 B. 213 D.
6
解析：选B 设等比数列{an}的公比为q，且q＞0， ∵a2 015q＝a2 015q＋2a2 015，
∴q－q－2＝0，∴q＝2或q＝－1(舍去)， 又a1q∴2
m－12
2
·a1q
n－1
＝16a1，
2
m＋n－2
＝16，∴m＋n－2＝4，m＋n＝6，
?41?m＋n1?4nm?∴?＋?·＝?5＋＋?
mn?6??mn?6
1?
≥?5＋26?
4134nm?3
·?＝，当且仅当m＝4，n＝2时等号成立．故＋的最小值为.
mn2mn?2
4．设{an}是等差数列，下列结论中正确的是( ) A．若a1＋a2＞0，则a2＋a3＞0 B．若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0 C．若0＜a1＜a2，则a2＞a1a3 D．若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＞0
解析：选C 若{an}是递减的等差数列，则选项A、B都不一定正确．若{an}为公差为0的等差数列，则选项D不正确．对于C选项，由条件可知{an}为公差不为0的正项数列，由等差中项的性质
a1＋a3a1＋a3
得a2＝，由基本不等式得＞a1a3，所以C正确．
22
5．(2017·黄冈质检)设等比数列{an}的各项均为正数，公比为q，前n项和为Sn.若对任意的n∈N，有S2n＜3Sn，则q的取值范围是________．
解析：当q≠1时，∵S2n＜3Sn， a1
∴
1－q1－q
2n
*
a1
＜3×
1－q1－q
n
，∴q＜2.
*
n
若q＞1，则n＜logq2对任意的n∈N恒成立，显然不成立． 若0＜q＜1，则n＞logq2对任意的n∈N恒成立， ∴logq2＜nmin，∴logq2＜1，即0＜q＜2， 又0＜q＜1，∴0＜q＜1.
当q＝1时，对任意的n∈N，有S2n＜3Sn成立． 综上可得，0＜q≤1. 答案：(0,1]
6．(2017·安徽二校联考)在数列{an}和{bn}中，an＋1＝an＋bn＋an＋bn，bn＋1＝an＋bn－an＋bn，a1
11
＝1，b1＝1.设cn＝＋，则数列{cn}的前2 017项和为________．
anbn
解析：由已知an＋1＝an＋bn＋an＋bn，bn＋1＝an＋bn－an＋bn得an＋1＋bn＋1＝2(an＋bn)，所以an＋1＋bn＋1
n
＝2，所以数列{an＋bn}是首项为2，公比为2的等比数列，即an＋bn＝2.将an＋1＝an＋bn＋
an＋bn
an＋1bn＋1
2222an＋bn，bn＋1＝an＋bn－an＋bn相乘得＝2，所以数列{anbn}是首项为1，公比为2的等比数列，
anbn所以anbn＝2
n－1
2
2
2
22
2
2
2
*
*
11an＋bn2
，因为cn＝＋，所以cn＝＝n－1＝2，数列{cn}的前2 017项和为2×2 017＝4 034.
anbnanbn2
n
答案：4 034
[C级——压轴小题突破练]
1*
1．已知一列非零向量an满足a1＝(x1，y1)，an＝(xn，yn)＝(xn－1－yn－1，xn－1＋yn－1)(n≥2，n∈N)，
2则下列命题正确的是( )
2
A．{|an|}是等比数列，且公比为
2B．{|an|}是等比数列，且公比为2 2
C．{|an|}是等差数列，且公差为
2D．{|an|}是等差数列，且公差为2 1
解析：选A ∵|an|＝
2
xn－1－yn－1
2
＋xn－1＋yn－1
2
2222
＝·xn－1＋yn－1＝|an－1|(n≥2，n∈22
|an|22*22
N)，|a1|＝x1＋y1≠0，＝为常数，∴{|an|}是等比数列，且公比为.
|an－1|22
2．(2017·全国卷Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是2，接下来的两项是22，再接下来的三项是222，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( )
A．440 B．330 C．220 D．110
解析：选A 设第一项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类n
推，则第n组的项数为n，前n组的项数和为
n
由题意可知，N>100，令
*
0,1,2
0
0,1
n＋1
. 2
n＋1
>100， 2
得n≥14，n∈N，即N出现在第13组之后．
1－221－2n
易得第n组的所有项的和为＝2－1，前n组的所有项的和为
1－21－2
*n
n
－n＝2
*
n＋1
－n－2.
设满足条件的N在第k＋1(k∈N，k≥13)组，且第N项为第k＋1组的第t(t∈N)个数， 若要使前N项和为2的整数幂，则第k＋1组的前t项的和2－1应与－2－k互为相反数， 即2－1＝k＋2，∴2＝k＋3，∴t＝log2(k＋3)，
13×13＋1
∴当t＝4，k＝13时，N＝＋4＝95<100，不满足题意；
229×29＋1
当t＝5，k＝29时，N＝＋5＝440；
2当t>5时，N>440，故选A.
t
t
t
x?πx??x?
3．已知函数f(x)＝coscos?－?·cos?π－?，将函数f(x)在(0，＋∞)上的所有极值点从小到大
4?24??2?排成一数列，记为{an}，则数列{an}的通项公式为________．
x?xx?11π
－cos解析：由f(x)＝cos·sin·??＝－sin x，得f′(x)＝－cos x，由cos x＝0，得x＝kπ＋(k
2?44?4422n－1ππ3π5π
∈Z)，所以函数f(x)在(0，＋∞)上的所有极值点为，，，…，，…，所以数列{an}
2222的通项公式为an＝
2n－1π
. 2
答案：an＝
2n－1π
2
2
2
?n，an－1＜n，
4．数列{an}满足an＝?(n≥2)，若{an}为等比数列，则a1的取值范围是________． 2
?2an－1，an－1≥n?4，a1＜4，2
解析：由题意得，a2＝?分类讨论，a1＜4时，a2＝4＜9，a3＝9＜4＝16，a4＝16，
?2a1，a1≥4
9
显然不能构成等比数列；a1≥4时，a2＝2a1≥8，当8≤a2＜9时，a3＝9，由{an}为等比数列，知a1＝，
4a299
与a1≥4矛盾，当a2≥9时，a3＝2a2，由{an}为等比数列，知a1＝≥，综上，a1≥，即a1的取值范
222
?9?
，＋∞围是??. ?2?
?9?答案：?，＋∞?
?2?
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