向量复习2学生版.docx

平面向量复习2

三、平面向量的基本定理：共线和不共线定理

① 共线定理：向量5与非零向量亍共线的充要条件是有且只有一个实数几，使得b=Aa.

i、 提供证明共线或平行的方法。

ii、 定比分点坐标公式，屮点坐标公式，重心公式。

于、平行问题的坐标表示；

例1、已知\\ABC和点满足AM + A7B + A7C = O,若存在实数加使得AB + AC = m~AM成立，则m = 3

例2、已知点A(2,3),B(5,4), C(7,10),若AP = AB + 2AC(2G/?),则当2= ___________ 时，点P在第一、三象限的角

平分线上。

—.—.—_

例3、若D为\\ABC的边的屮点，\\ABC所在平面内有一点P,满足P4 + BP + CP = 0 ,设=^ =久，则

2?

② 共线定理应用：

若 M(-3-2), 2V(6,-1), RMP = --MN f 则点 P 的坐标为

3

已知A(a,0),B(3,2 + d),直线y =丄必与线段AB交于M, RAM=2MBf贝Ija 2

| API

\\PD\\

如图，在\\ABC中，点M是BC的中点，点N在边4C上，且4N=2NC,

4M与相交于点P,求AP :PM的值?

5、平行四边形法则:

— —* 7

a +b

a-h =a-2a-b-}-b@

222 2

-a-b = 4a ? b

③

2忑?b =五? b ? cos0

~ T 2

a-b

[a+b

例1、已知Q,方是两个非零向量，Jia =b = a-b,则a与a + b的夹角？ 例2、已知\\a\\ = 2,b =5,a^ = -3,则方+忌等于 __________

例3、若向量方与向量乙的夹角为60°,闪=4,(方+ 2可?(方—3可=—72,则向量模|a| = ? 例4、若止方形 ABCD 的边长为 1, AB = a,BC = h,AC = c ,贝\\\\\\a+b + c\\= ________

—? —? ' ? —* 例5、已知C2,b均为单位向量，它们的夹角为60°,那么la + 3bl= ________

例6、若O是\\ABC所在平而内一点，FL满足前-0C = OB + OC-2OA ,则\\ABC的形状?

③ 如果勺和勺是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量d，有何只有一对实数入厶， —> ? ? ■

e使a二2］弓+兄2 2。

例1、下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是（

人、弓=（0,0）,勺=（1,一2） — 一

C x 弓=（3,5）,勺=（6,10）

）

B、弓=（一1,2）,勺=（5,7）

一 一 1 3 D、弓=（2,-3）,勺=（〒一才）

例2、平面上三个不同点O,A,B不共线,问：是否存在实数心满足好+疋〉0,且?刃+他面=6。 例3、平面上O, A, B三点不共线，设OA = a,OB = bt则AOAB的面积等于 __________

(A)

获-G ?硏

22(C )舟qa h -(a-b)

④ 实数与向量的积：实数兄与向量：的积是一个向量，记作兄：，它的长度和方向规定如下：

（1）|加=|几|”，（2）当/1>0时，2 a的方向与Q的方向相同，当2〈0时，2 Q的方向与Q的方向相反，当几=0 时，2d = 6 ,注：2d H0。

⑤ 平面向量的数量积:

对于非零向量Q，b ,作0A = 6F,OB = b , ZAOB = &（0 5 & 5疗）称为向量：， b的夹 （1）两个向量的夹角:

—> —# —yr —

角，当go时，“，b同向，当2”时，a, b反向，当&右时，。，\垂直。

（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量：，G 它们的夹角为&,我们把数量Gil趴COS&叫做：与庁的数

量积（或内积或点积）,记作： 茴,即a-b= a bcosd.

规定：零向量与任一?向量的数量积是0,注意数量积是一个实数，不再是一个向量。

（3） &在7上的投影为lMcos&,它是一个实数，但不一定大于0。

（4） 方易的几何意义:数量积方场等于：的模Gi与5在：上的投影的积。 （5）向量数量积的性质：设两个非零向量a, b ,其夹角为&，则:

—? —? —? —?

i > a 丄 b o a ? b = 0 ；

ii、当a , h同向时,

a^b = a b ,特别地,

-2 a

当Q与方反向时，a^b = - a b ；

当&为锐角时，方由>0,且方，乙不同向，a-b> 0是0为锐角的必要非充分条件;

iii、非零向量Q, &夹角0的计算公式:cos0 =

iv、\\a-b\\^M\\, \\\\a\\-\\b\\\\

当：、亦司向或有 6 O\\a + b\\^a\\ + \\b\\> \\\\a\\-\\b\\\\=\\a-b\\； 当 a、为反向或有6 O\\a-b\\^a\\ + \\b\\> \\\\a\\-\\b\\\\=\\a + b\\;

当方、乙不共线O \\\\a\\-\\b\\\\

g、数量积的运算；

—> —> —―》 —

例1、已知|Q|=3, \且a-b =12 f则向量a在向量b上的投影为 ________________ 例2、\\ABC 中，丨

lie 1=4, I BC 1= 5 ,则ABBC= __________________

例3、已知 A(l,丄” =(0,—丄2 )fc = a^kb9d = a-b, 7与22 的夹角为兰,则￡等于—4

—

例4、已知非零向量方力满足a + 3b与Ta-5了互相垂直，方―4乙与兀—2乙互相垂直，则方与乙的夹角?

例5、已知圆0的半径为1 , PA、PB为该圆的两条切线，4、3为两切点，那么顶?丙的最小值为

不

例6、方必为非零向量,“方丄亦是“函数/⑴=(込+可?何-可为一次函数”的 __________________ 条件。

h >夹角问题；

—>

—> —> —>

例7、已知G =

2/1), b = (32,2),如果a与b的夹角为锐角，则2的取值范围？

_ ---- >

--- > 1 -1/3 --- ----- ?

例8、已知△OF0的面积为S, R0FFQ = \\9若一vSv——，则0F,FQ夹角0的取值范围？

2 2

例9、若两向量勺,勺满足弓=2, e2 = i,e{,e2所成的角为60°,若向量2te] + le2与向量e{ + te2所成的角为钝角,

求实数/的取值范围？

例10、已知a = (cosx,sinx),b = (cosy,sin y), a与厶之间有关系式a-kb =呵也+耳，其中k >0 ,①用k表示a?乙;

②求的最大值，并求此时a与乙的夹角&的大小？ ②最小值？

③当dd取得最大值时，求实数久，使

a + Ab 的值最小，并对这一结果做出几何解释;

例 11、已知la = (cosx + sinx,sinx\\b = (cosx-sinx92cosx), 设 f (x) = a ? b,

① 求函数.f(x)的最小正周期；

② 当兀丘］(),彳］时，求函数/(兀)的最大值及最小值；

⑥ 向量的运算：

i、 几何运算：

1、 向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，向量加法 还可利

用“三角形法则” 2、 向量的减法：用“三角形法则” ii、 处标运算：设a =

= (x2,y2)贝叭

1、 向量的加减法运算:a±b = (xl±x2f y} ± y2) o 2、 实数与向量的积：Aa = A(xl9 y}) = (, Ay}) 0

3、 若A(xp^),S(x2,y2),则43 =(兀2-兀］,)3-必)，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的 终点坐标减

去起点坐标。

4、 平面向量数量积:a-b = XjX2 + y{y2 o

5、 向量的模：I a 1= y］x + y, a =\\ a \\ = x + y o

6、 两点间的距离：若 A(x1,y1),B(x2,y2),贝III AB 1= J(兀2 一州F +()‘2 一”丫。

例1、若点0是△4BC的外心，FL刃+丙+而=6,则/XABC的内角C为 例 2、已知人(2,3),3(1,4),且丄M = (sin兀,cosy),兀,y u ⑦ 向量的运算律：

,贝'J x + y =

22222

交换律：a + b = b + a a ,

2、结合律：a+b + c = ^a + b^ + c,a-b-c = a-^b + c^ 9 3 > 分配律：(2 +“)° = 2°+ “Q,/1(Q+ 可=2° + 2乙

(a + b)?c = a?c + b?c。

例1、下列命题中正确的是_