历年全国高中数学联赛二试几何题汇总

历年全国高中数学联赛二试几何题汇总

2007联赛二试 类似九点圆

如图，在锐角?ABC中，AB

A

E

F

P O1

O2B

D

C

证明：连BP、CP、O1O2、EO2、EF、FO1。

因为PD?BC，PF?AB，则B、D、P、F四点共圆，且BP为该圆的直径。又因为O1是?BDF的外心，故O1在BP上且是BP的中点。同理可证，C、D、P、E四点共圆，且O2是CP的中点。于是，O1O2平行于BC，则?PO2O1=?PCB。 因为AF*AB = AP*AD = AE*AC ，所以B、C、E、F四点共圆。

充分性：设P是?ABC的垂心，由于PE?AC，PF?AB，所以B、O1、P、E四点共线，C、O2、P、F四点共线，?FO2O1 =?FCB =?FEB = ?FEO1，故O1、O2、E、F四点共圆 必要性：设O1、O2、E、F四点共圆，则?O1O2E + ?EFO1 = ?

注意到?PO2O1=?PCB=?ACB - ?ACP ，又因为O2是直角?CEP的斜边中点，也就是

?CEP的外心，所以?PO2E=2?ACP。因为O1是直角?BFP的斜边中点，也就是?BFP的

外心，从而?PFO1=

?? - ?BFO1= - ?ABP 22? - ?ACB 2因为B、C、E、F四点共圆，所以?AFE =?ACB，?PFE =

于是，由?O1O2E + ?EFO1 = ?得： （?ACB - ?ACP+ 2?ACP）+ (

?? - ?ABP + - ?ACB) = ? ，即?ABP =?ACP。 22又因为AB

设B?是点B关于直线AD的对称点，则B?在线段DC上且B?D = BD。连结AB?、PB?。由对称性，有?AB?P =?ABP，从而?AB?P=?ACP，故A、P、B?、C四点共圆。由此可知，

?? - ?ACB 。 又因为?PBC=?PB?B ，故?PBC + ?ACB = ，22即BP?AC 又AP?BC，故P是?ABC的垂心

=?CAP = ?PB?B 2006 联赛二试

以B0和B1为焦点的椭圆与?AB0B1的边ABi交于Ci(i=0,1)。在AB0的延长线上任取点

P0，以B0为圆心，B0P0为半径作圆弧P0Q0交C1B0的延长线于Q0；以C1为圆心，C1Q0为半径作圆弧Q0P1交B1A的延长线于P1；以B1为圆心，B1P1为半径作圆弧P1Q1交B1C0的延长线于Q1；以C0为圆心，C0Q1为半径作圆弧Q1P0?交AB0的延长线于P0。试证： （1） 点P0与点P0重合，且圆弧P0Q0与P0Q1相内切于P0； （2） 四点P0，Q0，Q1，P1共圆。（官方解答）

??

证明：（1）由题设的四段圆弧有：

?B0P0=B0Q0； C1B0+B0Q0=C1P1； B1C1+C1P1=B1C0+C0Q1； C0Q1=C0B0+B0P0

以上四个式子相加，整理得：B0P0+C1B0+B1C1=B1C0+C0B0+B0P0

又由题设的椭圆有：B1C1+C1B0=B1C0+C0B0于是，B0P0=B0P0，即点P0与点P0重合。 又因为圆弧P0Q0与P0Q1对应的圆心B0、C0和点P0三点共线，且点P0在线段C0B0的延长线上，所以圆弧P0Q0与P0Q1相内切于P0

（2）过点P0、P1分别引相应圆弧的公切线P0T和P1T交于点T；再过点Q1引相应圆弧的公切线RS，分别交P0T、P1T于R、S。得到等腰三角形P0Q1R和P基于此，我们有： 1Q1S。

????-?P0Q1P1=?P0Q1R+?P1Q1S= (?TP0P1-?Q1P0P1)+(?TP1P0-?Q1P1P0)

又?-?P0Q1P1=?Q1P0P1+?Q1P1P0，从而有：?P0Q1P1=?-同理可得?P0Q0P1=?-

1(?TP0P1+?TP1P0) 21(?TP0P1+?TP1P0)所以， P0，Q0，Q1，P1四点共圆。 2

2005 联赛二试

如图，在?ABC中，设AB>AC，过A作?ABC的外接圆的切线L。又以A为圆心，AC为半径作圆分别交线段AB于D；交直线L于E、F。 证明：直线DE、DF分别通过?ABC的内心与一个旁心。（官方解答） 证明：（1）先证DE通过?ABC的内心。

连结DC、 DE，作?BAC的平分线，交DC于G，交DE于I。 又AD=AC，则?GAC与?GAD全等，即有?IAC=?IAD=又D、C、E在以A为圆心的圆上，则

1?DAC 21?DAC=?IEC 2故?IAC=?IEC，即A、I、C、E四点共圆。于是，?ACI=?AEI

1又F、D、E在以A为圆心的圆上，则?AEI =?FAD

21又因为相切有?FAD=?ACB，故?ACI=?ACB所以，I为内心。

2

(2) DF通过?ABC的一个旁心。

?BAC??ABC，

2?DAE?BAC??CAE而?BDIA=?ADF，又AD=AF，则?ADF=?AFD==，

22设FD 与AI的所在直线交于IA，连BIA， BI。则?BIIA =

又因为相切有?ABC=?CAE，故?BIIA =?BDIA，即I、D、B、IA四点共圆。 于是，?I BIA=?IDIA=90?，又因为?ABC的平分线与其外角平分线互相垂直，故BIA为其外角平分线。所以，IA为?ABC的BC边外的旁心。

2004联赛二试

在锐角三角形ABC中，AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H，以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点，FG与AH相交于点K，已知BC＝25，BD=20，BE＝7，求AK的长。

解：在直角?BCE中，BC=25，BE=7，则CE=24； 同理，在直角?BCD中，BC=25，BD=20，则CD=15。

24157204*+*= 252525255CEBD于是，AC==30，则AD=15。同理，AB==25，则AE=18。

sinAsinA注意到：AB=BC，则?A=?C

由于?CDB=?CEB=90?，C、D、E、B四点共圆， 则?C=?AED。于是，?A =?AED，则DE=AD。

1AF*AE54连FD，则DF?AE，于是AF=AE=9，则AG==。

25ADsinA = sin(B+C) = sinBcosC+cosBsinC =由

于

S?A=

S?AFK+

S?AGK，即

111AF*AGsinA=AF*AKsin?FAK+AG*AKsin?GAK 222715其中，sin?FAK=sin?BCE=，sin?GAK =sin?CBD=

2525216将数据代进去，计算得：AK=

25（这里实际上使用了张角公式，而官方解答注意到GF与BC平行的关系） 2003 联赛二试

过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A，B。所作割线交圆于C、D两点，C在P、D之间，在弦CD上取一点Q，使?DAQ＝?PBC，求证：?DBQ??PAC.