二次函数
易错清单
1. 二次函数与方程、不等式的联系.
【例1】 (2014·湖北孝感)抛物线y=ax+bx+c的顶点为D(-1,2),与x轴的一个交点A在点(-3,0)和(-2,0)之间,其部分图象如图,则以下结论:
2
①b2-4ac<0;②a+b+c<0;③c-a=2;④方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根.
其中正确结论的个数为( ).
A. 1个 C. 3个
B. 2个 D. 4个
2
【解析】 由抛物线与x轴有两个交点得到b-4ac>0;由抛物线顶点坐标得到抛物线的对称
轴为直线-1,则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和
(1,0)之间,所以当x=1时,y<0,则a+b+c<0;由抛物线的顶点为D(-1,2)得a-b+c=2,由抛物线
的对称轴为直线=1,得b=2a,所以c-a=2;根据二次函数的最大值问题,当x=-1时,
2
2
二次函数有最大值为2,即只有x=1时,ax+bx+c=2,所以说方程ax+bx+c-2=0有两个相等的实数根.
【答案】 ∵ 抛物线与x轴有两个交点,
∴ b2-4ac>0,所以①错误. ∵ 顶点为D(-1,2),
∴ 抛物线的对称轴为直线x=-1.
∵ 抛物线与x轴的一个交点A在点(-3,0)和(-2,0)之间, ∴ 抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间. ∴ 当x=1时,y<0. ∴ a+b+c<0,所以②正确.
∵ 抛物线的顶点为D(-1,2), ∴ a-b+c=2.
∵ 抛物线的对称轴为直线∴ b=2a.
=1,
∴ a-2a+c=2,即c-a=2,所以③正确. ∵ 当x=-1时,二次函数有最大值为2,
即只有x=1时,ax+bx+c=2,
2
∴ 方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根,所以④正确.
故选C.
【误区纠错】 本题考查了二次函数的图象与系数的关系:二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的图
2
象为抛物线,当a>0,抛物线开口向上;对称轴为直线
2
2
-;抛物线与y轴的交点坐标为
(0,c);当b-4ac>0,抛物线与x轴有两个交点;当b-4ac=0,抛物线与x轴有一个交点;当
b2-4ac<0,抛物线与x轴没有交点.
2. 用二次函数解决实际问题.
【例2】 (2014·江苏泰州)某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热,并立即将材料分为A,B两组,采用不同工艺做降温对比实验,设降温开始后经过xmin时,A,B两组材料的温度分别为yA℃,yB℃,yA,yB与x的函数关系式分别为yA=kx+b, 象如图所示),当x=40时,两组材料的温度相同. (1)分别求yA,yB关于x的函数关系式;
(2)当A组材料的温度降至120℃时,B组材料的温度是多少? (3)在0 (部分图 【解析】 (1)首先求出yB函数关系式,进而得出交点坐标,即可得出yA函数关系式; (2)首先将y=120代入求出x的值,进而代入yB求出答案; (3)得出yA-yB的函数关系式,进而求出最值即可. 解得m=100. ∴ yB=(x-60)2+100. 解得yB=200. ∴ yA=-20x+1000. (2)当A组材料的温度降至120℃时, 120=-20x+1000, 解得x=44. ∴ B组材料的温度是164℃. ∴ 当x=20时,两组材料温差最大为100℃. 【误区纠错】 此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式以及二次函数最值求法等知识,得出两种材料的函数关系式是解题关键. 3. 二次函数存在性问题的讨论. (1)求该抛物线的解析式; (2)求点A关于直线y=2x的对称点A'的坐标,判定点A'是否在抛物线上,并说明理由; (3)点P是抛物线上一动点,过点P作y轴的平行线,交线段CA'于点M,是否存在这样的点P, 使四边形PACM是平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 【解析】 (1)利用待定系数法求出抛物线的解析式; (2)首先求出对称点A'的坐标,然后代入抛物线解析式,即可判定点A'是否在抛物线上.本问关键在于求出A'的坐标.如答图所示,作辅助线,构造一对相似三角形Rt△A'EA∽Rt△OAC,利用相似关系、对称性质、勾股定理,求出对称点A'的坐标; (3)本问为存在型问题.解题要点是利用平行四边形的定义,列出代数关系式求解.如答图所示,平行四边形的对边平行且相等,因此PM=AC=10;利用含未知数的代数式表示出PM的长度,然后列方程求解.
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