2．2.1 综合法与分析法
1.了解直接证明的基本方法． 2.理解综合法和分析法的思考过程及特
点． 3.会用综合法与分析法解决数学问题．
1．直接证明
(1)定义：从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性．
(2)常用方法：综合法、分析法． 2．综合法
(1)定义：是从原因推导到结果的思维方法(由因导果)，即从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论．
(2)推证步骤：P0(已知)?P1?P2?…?Pn(结论)． 3．分析法
(1)定义：是从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法(执果索因)，即从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．
(2)步骤：B(结论)?B1?B2?…?Bn?A(已知)．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)综合法是执果索因的逆推证法．( ) (2)分析法就是从结论推向已知．( )
(3)分析法与综合法证明同一个问题时，一般思路恰好相反，过程相逆．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√
2．欲证 2－3＜6－7，只需证明( ) A．(2－3)＜(6－7) B．(2－6)＜(3－7) C．(2＋7)＜(6＋3) D．(2－3－6)＜(－7) 答案：C
3．函数f(x)＝ax＋b在(－∞，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________． 答案：(0，＋∞)
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综合法的应用
如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC. (1)求证：DC⊥平面PAC. (2)求证：平面PAB⊥平面PAC.
[证明] (1)因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥DC. 又因为DC⊥AC，且PC∩AC＝C，所以DC⊥平面PAC. (2)因为AB∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC. 因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB. 又因为PC∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC. 又AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.
综合法证明问题的步骤
已知a、b、c是不全相等的正数，求证：
a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)>6abc.
证明：因为a、b、c是正数，所以b＋c≥2bc， 所以a(b＋c)≥2abc. ① 同理，b(c＋a)≥2abc， ②
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c(a2＋b2)≥2abc， ③
因为a、b、c不全相等，
所以b＋c≥2bc，c＋a≥2ca，a＋b≥2ab三式中不能同时取到“＝”． 所以①②③式相加得a(b＋c)＋b(c＋a)＋c(a＋b)>6abc.
分析法的应用
在锐角△ABC中，求证：tanA·tanB>1. sinAsinB[证明] 要证tanAtanB>1，只需证>1，
cosAcosB因为A、B均为锐角，所以cosA>0，cosB>0.
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即证sinAsinB>cosAcosB，即cosAcosB－sinAsinB<0， 只需证cos(A＋B)<0.
因为△ABC为锐角三角形，所以90°
分析法证明数学问题的方法
若a>0，证明
证明：要证 只需证
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a2＋2－2≥a＋－2.
aa1
11
a2＋2－2≥a＋－2，
aa1
1
a2＋2＋2≥a＋＋2. aa2
?2?1?
a＋2＋2?≥?a＋a＋2?，
a???
2
?
只需证?
?
a1
12
即证a＋2＋4＋4只需证
2
a2＋2≥a2＋2＋2＋2＋22?a＋?，
aa?a?
11
?
1?
2?1?
a＋2≥?a＋?，
a2?a?
1
11?21?2
只需证a＋2≥?a＋2＋2?，
aa2??12
即证a＋2≥2，
a?1?即?a－?≥0，显然成立， ?a?
所以原不等式成立．
综合法与分析法的综合应用
△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，其角A、B、C的对边分别为a、b、c，
求证(a＋b)＋(b＋c)＝3(a＋b＋c).
[证明] 法一：(分析法)要证(a＋b)＋(b＋c)＝3(a＋b＋c)成立，
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即证即
113＋＝成立， a＋bb＋ca＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c＋＝3， a＋bb＋cca＋bb＋c＋
化简，得
a＝1，
又需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)， 即c＋a＝b＋ac，
又△ABC的三个内角A，B，C成等差数列， 所以B＝60°.
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a2＋c2－b21由余弦定理，得cosB＝＝，
2ac2
所以a＋c－b＝ac，所以原命题成立．
法二：(综合法)因为△ABC三个内角A，B，C成等差数列，所以B＝60°. 由余弦定理，得b＝c＋a－2accos60°， 即c＋a＝ac＋b，
两边同时加ab＋bc，得c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)， 两边除以(a＋b)(b＋c)，得即
113
＋＝， a＋bb＋ca＋b＋c－1
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－1
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ca＋bb＋c＋
a＝1.所以(
ca＋b＋1)＋(
ab＋c＋1)＝3，
所以(a＋b)＋(b＋c)＝3(a＋b＋c).
在解决问题时，我们经常把综合法和分析法综合起来使用．根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论P；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论Q，若由Q可以推出P成立，就可证明结论成立．
1.设a，b∈(0，＋∞)，且a≠b，求证：a＋b＞ab＋ab.
证明：法一：(分析法) 要证a＋b＞ab＋ab成立，
即需证(a＋b)(a－ab＋b)＞ab(a＋b)成立． 又因a＋b＞0，
故只需证a－ab＋b＞ab成立， 即需证a－2ab＋b＞0成立， 即需证(a－b)＞0成立．
而依题设a≠b，则(a－b)＞0显然成立． 由此不等式得证．
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法二：(综合法)
a≠b?a－b≠0?(a－b)2＞0?a2－2ab＋b2＞0?a2－ab＋b2＞ab.
因为a＞0，b＞0， 所以a＋b＞0，
所以(a＋b)(a－ab＋b)＞ab(a＋b)． 所以a＋b＞ab＋ab.
2．在某两个正数x，y之间插入一个数a，使x，a，y成等差数列，插入两数b，c，使
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x，b，c，y成等比数列，求证：(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)．
2a＝x＋y，??2
证明：由已知得?b＝cx，
??c2＝by，
b2c2
所以x＝，y＝，
cbb2c2
即x＋y＝＋，
cbb2c2
从而2a＝＋.
cb要证(a＋1)≥(b＋1)(c＋1)，
只需证a＋1≥（b＋1）（c＋1）成立． （b＋1）＋（c＋1）
只需证a＋1≥即可．
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b2c2
也就是证2a≥b＋c.而2a＝＋，
cbb2c2
则只需证＋≥b＋c成立即可，
cb即证b＋c＝(b＋c)(b－bc＋c)≥(b＋c)bc， 即证b＋c－bc≥bc， 即证(b－c)≥0成立， 上式显然成立，
所以(a＋1)≥(b＋1)(c＋1)．
1．分析法解题方向较为明确，有利于寻找解题思路；综合法条理清晰，宜于表述，因此，在实际解题时，通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述过程．
2．综合法和分析法是证明数学问题的基本方法．在解决问题时既能单独运用也可以交替运用．
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