2019 - 2020学年高中数学第2章推理与证明2.2.1综合法与分析法学案新人教B版选修2 - 2

法二：(综合法)

a≠b?a－b≠0?(a－b)2＞0?a2－2ab＋b2＞0?a2－ab＋b2＞ab.

因为a＞0，b＞0， 所以a＋b＞0，

所以(a＋b)(a－ab＋b)＞ab(a＋b)． 所以a＋b＞ab＋ab.

2．在某两个正数x，y之间插入一个数a，使x，a，y成等差数列，插入两数b，c，使

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x，b，c，y成等比数列，求证：(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)．

2a＝x＋y，??2

证明：由已知得?b＝cx，

??c2＝by，

b2c2

所以x＝，y＝，

cbb2c2

即x＋y＝＋，

cbb2c2

从而2a＝＋.

cb要证(a＋1)≥(b＋1)(c＋1)，

只需证a＋1≥（b＋1）（c＋1）成立． （b＋1）＋（c＋1）

只需证a＋1≥即可．

2

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b2c2

也就是证2a≥b＋c.而2a＝＋，

cbb2c2

则只需证＋≥b＋c成立即可，

cb即证b＋c＝(b＋c)(b－bc＋c)≥(b＋c)bc， 即证b＋c－bc≥bc， 即证(b－c)≥0成立， 上式显然成立，

所以(a＋1)≥(b＋1)(c＋1)．

1．分析法解题方向较为明确，有利于寻找解题思路；综合法条理清晰，宜于表述，因此，在实际解题时，通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述过程．

2．综合法和分析法是证明数学问题的基本方法．在解决问题时既能单独运用也可以交替运用．

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1．利用综合法证明问题时，要把产生某结果的具体原因写完整，不可遗漏． 2．用分析法书写证明过程时，格式要规范，一般为“欲证…，只需证…，只需证…，由于…显然成立(已知，已证…)，所以原结论成立．”其中的关联词语不能省略．

1．直接证明中最基本的两种证明方法是( ) A．类比法与归纳法 B．综合法与分析法 C．反证法和二分法 D．换元法和配方法

解析：选B.直接证明的方法包括综合法与分析法．

2．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，若当x≤1时，f(x)＝(x＋1)－1，则当

2

x>1时，f(x)的解析式为__________．

解析：因为函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以有f(x)＝f(2－x)，当x>1时，有2－x<1，则f(2－x)＝[(2－x)＋1]－1＝(3－x)－1＝(x－3)－1＝f(x)．

答案：f(x)＝(x－3)－1

3．设a＝2，b＝7－3，c＝6－2，则a，b，c的大小关系是________． 解析：要比较b与c的大小，只需比较7＋2与3＋6的大小，只需比较(7＋2)

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2

与(3＋6)的大小，即比较14与18 的大小，显然14<18，从而7－3<6－2，即bc，所以a>c>b.

答案：a>c>b

[A 基础达标]

1．分析法是从要证的结论出发，逐步寻求结论成立的( ) A．充分条件 C．充要条件

B．必要条件 D．等价条件

解析：选A.由分析法的要求知，应逐步寻求结论成立的充分条件． 2．要证：a＋b－1－ab≤0，只要证明( ) A．2ab－1－ab≤0 B．a＋b－1－

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a2＋b2

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≤0

（a＋b）22C.－1－ab≤0

2D．(a－1)(b－1)≥0

2

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解析：选D.要证：a＋b－1－ab≤0， 只需证：ab－a－b＋1≥0， 只需证：(a－1)(b－1)≥0，故选D.

3．若a＞1，0＜b＜1，则下列不等式中正确的是( ) A．a＜1 C．logab＜0

b0

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2

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bB．b＞1 D．logba＞0

a0

a解析：选C.a＞a＝1，b＜b＝1，logab＜loga1＝0，logba＜logb1＝0. 4．若ab＋

baab11C．b＋>a＋ D．<

bb＋1

aa＋1

ab11

解析：选C.因为a. 11

由不等式的同向可加性知b＋>a＋.

ab5．下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)成立”的是( )

1A．f(x)＝

xB．f(x)＝(x－1) C．f(x)＝e D．f(x)＝ln(x＋1)

x2

?1?解析：选A.本题就是找哪一个函数在(0，＋∞)上是减函数，A项中，f′(x)＝??′＝x??

1

－2＜0，

x1

所以f(x)＝在(0，＋∞)上为减函数．

x6．设a＝3＋22，b＝2＋7，则a，b的大小关系为________．

解析：a＝3＋22，b＝2＋7，两式的两边分别平方，可得a＝11＋46，b＝11＋47，显然，6< 7.所以a

答案：a

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2

7．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，则△ABC的面积等于________． 234

解析：如图所示，在△ABC中，由正弦定理得＝，解得sin

sin 60°sin BB＝1，所以B＝90°，所以S△ABC＝×AB×23＝×42－（23）2×23＝

23.

答案：23

8．如果aa＞bb，则实数a，b应满足的条件是________．

解析：要使aa＞bb成立，只需(aa)＞(bb)，只需a＞b＞0，即a，b应满足a＞b＞0.

答案：a＞b＞0

9．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos A·sin B＝sin C．判断△ABC的形状．

解：因为A＋B＋C＝180°， 所以sin C＝sin(A＋B)． 又2cos Asin B＝sin C，

所以2cos Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B， 所以sin(A－B)＝0. 又A与B均为△ABC的内角， 所以A＝B.

又由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab， 得(a＋b)－c＝3ab，a＋b－c＝ab. 又由余弦定理c＝a＋b－2abcos C， 得a＋b－c＝2abcos C. 1所以2abcos C＝ab，cos C＝，

2所以C＝60°.

又因为A＝B，所以△ABC为等边三角形．

10．求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大．

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?L??L?证明：设圆和正方形的周长为L，故圆的面积为π??，正方形的面积为??，则本?2π??4??L??L?题即证π??＞??.

?2π??4?

?L??L?要证π??＞??， ?2π??4?

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