1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)； (2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)； (3)抛物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离)．
易错提醒：应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误． 2．求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”
(1)定型：就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程； (2)计算：即利用待定系数法求出方程中的a，b或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线方程常设为y＝2ax或x＝2ay(a≠0)，椭圆方程常设为mx＋ny＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)，双曲线方程常设为mx－ny＝1(mn＞0)．
1．(椭圆的定义)设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中
95|PF2|
点在y轴上，则的值为( )
|PF1|
A.
5545 B. C. D. 149913
2
2
2
2
2
2
2
2
x2y2
D [如图，设线段PF1的中点为M，因为O是F1F2的中点，所以
b25
OM∥PF2，可得PF2⊥x轴，|PF2|＝＝，
a3
13
|PF1|＝2a－|PF2|＝，
3|PF2|5所以＝.故选D.]
|PF1|13
x2y2
2．(双曲线的标准方程)已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的焦距为45，渐近线方程为
ab2x±y＝0，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 416C.
－＝1 1664
x2y2
B.D.
－＝1 164－＝1 6416
x2x2
y2
x2y2y2
x2y2
A [易知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的焦点在x轴上，所以由渐近线方程为2x±y＝0，
ab - 6 -
得＝2，因为双曲线的焦距为45，所以c＝25.结合c＝a＋b，可得a＝2，b＝4，所以双曲线的方程为－＝1.]
416
3．(抛物线的定义)过抛物线y＝2px(p＞0)的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝2|BF|＝6，则p＝________.
4 [设直线AB的方程为x＝my＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＞x2，将直线AB的方程
2代入抛物线方程得y－2pmy－p＝0，所以y1y2＝－p4x1x2＝p.设抛物线的准线为l，过A作
2
2
2,
2
2
ba222
x2y2
pAC⊥l，垂足为C(图略)，过B作BD⊥l，垂足为D，因为|AF|＝2|BF|＝6，根据抛物线的定义
知，|AF|＝|AC|＝x1＋＝6，|BF|＝|BD|＝x2＋＝3，所以x1－x2＝3，x1＋x2＝9－p，所以(x1
22＋x2)－(x1－x2)＝4x1x2＝p，即18p－72＝0，解得p＝4.]
圆锥曲线的性质(5年17考)
[高考解读] 高考对圆锥曲线性质的考查主要涉及椭圆和双曲线的离心率、双曲线的渐近线，难度适中.
2
2
2
ppx2y2
1．(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y＝2px(p＞0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p3pp2
＝( )
A．2 B．3 C．4 D．8 切入点：抛物线的焦点是椭圆的焦点． 关键点：正确用p表示抛物线和椭圆的焦点．
??2
D [抛物线y＝2px(p>0)的焦点坐标为?，0?，
?2?
x2y2
椭圆＋＝1的焦点坐标为(±2p，0)．
3pp由题意得＝2p，∴p＝0(舍去)或p＝8.
2故选D.]
ppx2y2
2．(2019·全国卷Ⅱ)设F为双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，
ab以OF为直径的圆与圆x＋y＝a交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( )
A.2 B.3 C．2 D.5
切入点：以OF为直径的圆与圆x＋y＝a相交且|PQ|＝|OF|.
2
2
2
2
2
2
- 7 -
关键点：正确确定以OF为直径的圆的方程．
x2y222
A [令双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c,0)，则c＝a＋b.
ab如图所示，由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝，由|OM|＋|MP|＝|OP|，
2
c222
c?c??c?2
得??＋??＝a，∴＝2，即离心率e＝2.
a?2??2?
故选A.]
22
x2y2
3．[一题多解](2017·全国卷Ⅰ)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上
3m存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A．(0,1]∪[9，＋∞) C．(0,1]∪[4，＋∞)
B．(0，3]∪[9，＋∞) D．(0，3]∪[4，＋∞)
切入点：C上存在点M满足∠AMB＝120°.
关键点：求椭圆上的点与椭圆两端点连线构成角的范围建立关于m的不等式． A [法一：设焦点在x轴上，点M(x，y)． 过点M作x轴的垂线，交x轴于点N， 则N(x,0)．
故tan∠AMB＝tan(∠AMN＋∠BMN) 23|y|
. 22
3＋x3－xx＋y－31－·
|y||y|
＝
3＋x3－x＋|y||y|
＝
又tan∠AMB＝tan 120°＝－3，
2x2y23y2
且由＋＝1可得x＝3－，
3mm则
23|y|23|y|
＝＝－3. 2
3y3?22?3－＋y－3?1－?ym?m?
解得|y|＝
2m. 3－m2m又0<|y|≤m，即0＜≤m，结合0＜m＜3解得0＜m≤1.
3－m对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得m≥9. 则m的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)．
- 8 -
故选A.
法二：当0 当m>3时，焦点在y轴上， 要使C上存在点M满足∠AMB＝120°， 则≥tan 60°＝3，即ab3 m≥3， abm3 ≥3，解得m≥9. 故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)． 故选A.] [教师备选题] x2y2 1．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的离心率为3，则其渐近线方程为 ab( ) A．y＝±2x C．y＝± 2x 2 B．y＝±3x D．y＝± 3x 2 2 2 2 2 A [因为双曲线的离心率为3，所以＝3，即c＝3a.又c＝a＋b，所以(3a)＝ cabba2＋b2，化简得2a2＝b2，所以＝2.因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以y＝±2x. aa故选A.] 2．(2017·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x3轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为( ) 1A. 32C. 3 2 2 y2 1B. 23D. 2 D [因为F是双曲线C：x－＝1的右焦点，所以F(2,0)． 3因为PF⊥x轴，所以可设P的坐标为(2，yP)． 因为P是C上一点，所以4－＝1，解得yP＝±3， 3所以P(2，±3)，|PF|＝3. - 9 - y2 y2P又因为A(1,3)，所以点A到直线PF的距离为1， 113 所以S△APF＝×|PF|×1＝×3×1＝. 222故选D.] x2y2 3．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以 ab线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为( ) A.C.6 32 3 B.3 3 1D. 3 A [由题意知以A1A2为直径的圆的圆心坐标为(0,0)，半径为a. 又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切， ∴圆心到直线的距离d＝ 2aba2＋b2 ＝a，解得a＝3b，∴＝2 2 6?1? 1－??＝. ?3?3 ba13 ， ca2－b2 ∴e＝＝＝ aa故选A.] ?b?1－??＝ ?a? 1．椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法 求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值． 2．双曲线的渐近线的求法及用法 (1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得． (2)用法：①可得或的值． ②利用渐近线方程设所求双曲线的方程． 1．(椭圆的离心率)[一题多解]直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l1 的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( ) 4 1123A. B. C. D. 3234 - 10 - cabaab
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