21．如图，正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连结GF，给出下列结论：
①∠ADG=22.5°；②tan∠AED=2；③S△AGD=S△OGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE=2OG；⑥若S△OGF=1，则正方形ABCD的面积是6+4
其中正确有 ①④⑤ ．
【考点】LO：四边形综合题．
【分析】①由四边形ABCD是正方形，可得∠GAD=∠ADO=45°，又由折叠的性质，可求得∠ADG的度数； ②由AE=EF＜BE，可得AD＞2AE，在用锐角三角函数即可判断； ③由AG=GF＞OG，可得△AGD的面积＞△OGD的面积；
④由折叠的性质与平行线的性质，易得△EFG是等腰三角形，即可证得AE=GF； ⑤易证得四边形AEFG是菱形，由等腰直角三角形的性质，即可得BE=2OG；
⑥根据四边形AEFG是菱形可知AB∥GF，AB=GF，再由∠BAO=45°，∠GOF=90°可得出△OGF时等腰直角三角形，由S△OGF=1求出GF的长，进而可得出BE及AE的长，利用正方形的面积公式可得出结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠GAD=∠ADO=45°，
由折叠的性质可得：∠ADG=∠ADO=22.5°，故①正确． ∵由折叠的性质可得：AE=EF，∠EFD=∠EAD=90°， ∴AE=EF＜BE， ∴AE＜AB， ∴
＞2，
在Rt△ADE中，tan∠AED=∵∠AOB=90°，
＞2，故②错误．
∴AG=FG＞OG，△AGD与△OGD同高， ∴S△AGD＞S△OGD，故③错误． ∵∠EFD=∠AOF=90°， ∴EF∥AC， ∴∠FEG=∠AGE， ∵∠AGE=∠FGE， ∴∠FEG=∠FGE， ∴EF=GF， ∵AE=EF， ∴AE=GF，
∵AE=EF=GF，AG=GF， ∴AE=EF=GF=AG，
∴四边形AEFG是菱形，故④正确． ∴∠OGF=∠OAB=45°， ∴EF=GF=∴BE=
OG， ×
OG=2OG．故⑤正确．
EF=
∵四边形AEFG是菱形， ∴AB∥GF，AB=GF．
∵∠BAO=45°，∠GOF=90°， ∴△OGF时等腰直角三角形． ∵S△OGF=1， ∴OG2=1，解得OG=∴BE=2OG=2∴AE=GF=2， ∴AB=BE+AE=2
+2，
+2）2=12+8
，故⑥错误．
，GF=
， ═2，
∴S正方形ABCD=AB2=（2
∴其中正确结论的序号是：①④⑤共三个． 故答案为①④⑤．
三、解答题（本大题共7小题，共57分）
22．（1）先化简，再求值：a（a﹣2b）+（a+b）2，其中a=﹣1，b=（2）解方程： =
．
．
【考点】B3：解分式方程；4J：整式的混合运算—化简求值．
【分析】（1）根据单项式乘多项式和完全平方公式可以化简题目中的式子，然后将a、b的值代入即可解答本题； （2）根据解分式方程的方法可以解答此方程，注意分式方程要检验． 【解答】解：（1）a（a﹣2b）+（a+b）2 =a2﹣2ab+a2+2ab+b2 =2a+b， 当a=﹣1，b= （2）=
时，原式=
=2+2=4；
2
2
方程两边同乘以x（x﹣2），得 x﹣2=3x
移项及合并同类项，得 2x=﹣2 系数化为1，得 x=﹣1，
经检验，x=﹣1是原分式方程的解， 故原分式方程的解是x=﹣1．
23．（1）如图1，已知AD=BC，AC=BD．求证：△ADB≌△BCA．
（2）如图2，已知AB是⊙O的一条直径，延长AB至点C，使AC=3BC，CD与⊙O相切于点D，若CD=径．
，求⊙O的半
【考点】ME：切线的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据全等三角形的判定即求证；
（2）连接OD，利用AC=3BC可知OB=OC，在Rt△ODC中，cos∠DOC=在Rt△POC中，利用勾股定理即可求出OD的长度． 【解答】解：在△ADB与△BCA中，
∴△ADB≌△BCA（SSS）
（2）连接OD， ∵CD与⊙O相切， ∴OD⊥CD， ∴∠ODC=90°， ∵AC=3BC，AB=2OB， ∴OB=BC， ∴OB=OC 又OB=OD， ∴OD=OC 在Rt△ODC， cos∠DOC=
=，
=，从而可知∠DOC=60°，∠AOD=120°，
∴∠DOC=60°， ∴∠AOD=120° 在Rt△POC中，
由勾股定理可知：OD2+DC2=OC2， ∵CD=
，
∴OD2+3=4OD2， ∴OD=1
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