表1：设备改造后样本的频数分布表 质量指标值 频数 [15，20) 2 [20，25) 18 [25，30) 48 [30，35) 14 [35，40) 16 [40，45) 2 (1)请估计该企业在设备改造前的产品质量指标的平均值； (2)该企业将不合格品全部销毁后，对合格品进行等级细分，质量指标值落在[25，30)内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在[20，25)或[30，35)内的定为二等品，每件售价180元；其他的合格品定为三等品，每件售价120元．根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率．现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望．
解：(1)根据题图1可知，设备改造前样本的频数分布表如下， 质量指标值 频数 [15，20) 4 [20，25) 16 [25，30) 40 [30，35) 12 [35，40) 18 [40，45) 10 4×17.5＋16×22.5＋40×27.5＋12×32.5＋18×37.5＋10×42.5＝3 020. 3 020
样本产品的质量指标平均值为＝30.2，
100
根据样本质量指标平均值估计总体质量指标平均值为30.2.
111
(2)根据样本频率分布估计总体分布，样本中一、二、三等品的频率分别为，，，
236111
故从所有产品中随机抽一件，是一、二、三等品的概率分别是，，.
236随机变量X的取值为240，300，360，420，480.
P(X＝240)＝×＝，P(X＝300)＝C12××＝，
1P(X＝360)＝C1，P(X＝420)＝C2××＝，P(X＝480)＝×＝， 2××＋×＝
1
611636131169
11112633518121133112214
所以随机变量X的分布列为
X P 240 1 36300 1 9360 5 18420 1 3480 1 411511所以E(X)＝240×＋300×＋360×＋420×＋480×＝400.
3691834
12．(2018·高考全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0＜p＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0.
(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值，已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
(ⅰ)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求
EX；
(ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
解：(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝C20p(1－p).因此f′(p)＝C20[2p(1－p)－18p(1－p)]＝2C20p(1－p)(1－10p)．令f′(p)＝0，得p＝0.1.当p∈(0，0.1)时，
18
2
17
2
17
2
2
18
2
f′(p)>0；当p∈(0.1，1)时，f′(p)<0.
所以f(p)的最大值点为p0＝0.1. (2)由(1)知，p＝0.1.
(i)令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180，0.1)，
X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.
所以EX＝E(40＋25Y)＝40＋25EY＝490.
(ii)如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元． 由于EX>400，故应该对余下的产品作检验．
[B组 大题增分专练]
1．(2019·广州市综合检测(一))为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位(一套住宅为一户)．
阶梯级别 月用电范围/度 第一阶梯 [0，210] 第二阶梯 (210，400] 第三阶梯 (400，＋∞) 某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下：
居民用电 户编号 用电量/度 1 53 2 86 3 90 4 124 5 132 6 200 7 215 8 225 9 300 10 410 (1)若规定第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元，第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元，试计算某居民用电户用电410度时应交电费多少元？
(2)现要从这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望； (3)以表中抽到的10户作为样本估计全市居民用电，现从全市中依次抽取10户，若抽到
k户用电量为第一阶梯的可能性最大，求k的值．
解：(1)210×0.5＋(400－210)×0.6＋(410－400)×0.8＝227(元)．
(2)设取到第二阶梯电量的户数为ξ，可知第二阶梯电量的用户有3户，则ξ可取0，1，2，3，
C77
P(ξ＝0)＝3＝，
C1024C7C321
P(ξ＝1)＝3＝，
C1040C7C37
P(ξ＝2)＝3＝，
C1040C31
P(ξ＝3)＝3＝，
C10120故ξ的分布列为
ξ 0 7 241 21 402 7 403 1 120312213
P 721719所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
24404012010
3??(3)设从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯的有X户，则X～B?10，?，可知P(X＝k)
5??
?3??2?＝C10??·???5??5?
kk10－k(k＝0，1，2，3，…，10)，
??C???C
?3?10???5?
k10
k210－k??
?5???
?3?≥C10???5?
k＋1
k＋129－k???5???
k10－kk?3??2?
?5??5?????≥C10??
?5?
k－1211－k??k－1?3?
，
?5???
2833*
解得≤k≤，k∈N，
55
所以当k＝6时用电量为第一阶梯的可能性最大， 所以k＝6.
2．(2019·高考北京卷)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
支付金额(元) 支付方式 仅使用A 仅使用B (0，1 000] 18人 10人 (1 000， 2 000] 9人 14人 大于2 000 3人 1人 (1)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率； (2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1 000元的人数，求X的分布列和数学期望；
(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2 000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由．
解：(1)由题意知，样本中仅使用A的学生有18＋9＋3＝30人，仅使用B的学生有10＋14＋1＝25人，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人．
故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100－30－25－5＝40人．
所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率估计为40
＝0.4. 100
(2)X的所有可能值为0，1，2.
记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1 000元”，事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1 000元”．
9＋314＋1由题设知，事件C、D相互独立，且P(C)＝＝0.4，P(D)＝＝0.6.
3025所以P(X＝2)＝P(CD)＝P(C)P(D)＝0.24.
P(X＝1)＝P(CD∪CD)
＝P(C)P(D)＋P(C)P(D)
＝0.4×(1－0.6)＋(1－0.4)×0.6 ＝0.52，
P(X＝0)＝P(C D)＝P(C)P(D)＝0.24，
所以X的分布列为 X 0 1 2
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