2021届高三大一轮复习40分钟单元基础小练 36 计数原理、排列组合、二项式定理

关注公众号《品数学》，每天都有干货！

40分钟单元基础小练 36 计数原理、排列组合、二项式定理

一、选择题

1．用两个1，一个2，一个0，可组成不同四位数的个数是( ) A．18 B．16 C．12 D．9 答案：D

3

解析：当1在最高位时，可以组成的四位数的个数是A3＝6；当

2

2在最高位时，可以组成的四位数的个数为C3＝3，故可以组成不同的四位数的个数为9.故选D.

2．教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有( )

A．10种 B．25种 C．52种 D．24种 答案：D

解析：每相邻的两层之间各有2种走法，共分4步．由分步乘法计数原理，共有24种不同的走法．

3．某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科．学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为( )

A．6 B．12 C．18 D．19 答案：D

2

解析：通解 在物理、政治、历史中选一科的选法有C13C3＝9(种)；

21

在物理、政治、历史中选两科的选法有C3C3＝9(种)；物理、政治、历史三科都选的选法有1种．所以学生甲的选考方法共有9＋9＋1＝19(种)，故选D.

3

优解 从六科中选考三科的选法有C6种，其中包括了没选物理、政治、历史中任意一科，这种选法有1种，因此学生甲的选考方法共有C36－1＝19(种)，故选D.

4．用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3 000的四位数，这样的四位数有( )

A．250个 B．249个 C．48个 D．24个 答案：C

解析：①当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有A34＝

3

24(个)；②当千位上的数字为3时，满足条件的四位数有A4＝

高中数学资料共享群284110736，每天都有更新！

关注公众号《品数学》，每天都有干货！

24(个)．由分类加法计数原理得所有满足条件的四位数共有24＋24＝48(个)，故选C. 1?9??5．x－2x?的展开式中x3的系数为( ) ??219A．－2 B．－2 921C.2 D.2 答案：A ?1?r?1?rr9－2rr9－r?解析：二项展开式的通项Tr＋1＝C9x－2x?＝?－2?C9x，令?????1?3319×8×73??9－2r＝3，得r＝3，展开式中x的系数为－2C9＝－8×＝??3×2×121－2，选A. 6．(x－y)(x＋y)5的展开式中x2y4的系数为( ) A．－10 B．－5 C．5 D．10 答案：B 解析：(x＋y)5的展开式的通项公式为Tr＋1＝Crx5－r·yr，令5－r5·＝1，得r＝4，令5－r＝2，得r＝3， 3∴(x－y)(x＋y)5的展开式中x2y4的系数为C45×1＋(－1)×C5＝－5.故选B. 7．已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8＝( ) A．－180 B．180 C．45 D．－45 答案：B 解析：令t＝1－x，则x＝1－t，所以有(2－t)10＝a0＋a1t＋a2t2＋…10－r10－r＋a10t10，则Tr＋1＝Cr(－t)r＝Cr(－1)rtr，令r＝8，则a8＝C810210210×22＝180. 1?n??8．在二项式x－x?的展开式中第5项是二项式系数最大的唯一??项，则展开式中含有x2项的系数是( ) A．35 B．－35 C．－56 D．56 答案：C 1??解析：∵在二项式?x－x?n的展开式中第5项是二项式系数最大的??高中数学资料共享群284110736，每天都有更新！

关注公众号《品数学》，每天都有干货！

唯一项， ∴展开式中第5项是正中间项，展开式共有9项． ?1?rr8－r?8－2r∴n＝8，展开式的通项为Tr＋1＝C8x－x?＝(－1)rCr， 8x??令8－2r＝2，得r＝3， ∴展开式中含x2项的系数是(－1)3C38＝－56.故选C. 9．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每一级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数为( ) A．336 B．84 C．343 D．210 答案：A 解析：由题意知需要分2类解决，(1)若每一个台阶上只站1人，3站法有A7＝210(种)；(2)若1个台阶有2人，另1个台阶有1人，站22法有C3A7＝126(种)．根据分类加法计数原理可得，不同的站法种数为210＋126＝336. 10．将“福”、“禄”、“寿”填入到如图所示的4×4小方格中，每格内只填入一个汉字，且任意的两个汉字既不同行也不同列，则不同的填写方法有( ) A．288种 B．144种 C．576种 D．96种 答案：C 解析：依题意可分为以下3步：(1)先从16个格子中任选一格放入第一个汉字，有16种方法；(2)任意的两个汉字既不同行也不同列，第二汉字只有9个格子可以放，有9种方法；(3)第三个汉字只有4个格子可以放，有4种方法．根据分步乘法计数原理可得不同的填写方法有16×9×4＝576(种)． 1?n?11．设?5x－?的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之x??和为N，若M－N＝240，则n的值为( ) A．4 B．6 C．8 D．10 答案：A 解析：各项系数之和M＝4n，二项式系数之和N＝2n，所以M－高中数学资料共享群284110736，每天都有更新！