函数与方程-1981-2018年历年数学联赛48套真题WORD版分类汇编含详细答案

1981年~2018年全国高中数学联赛一试试题分类汇编

2、函数与方程部分

2018A 5、设f(x)是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间?0,1?上严格递减，且满足f(?)?1，

?1?x?2的解集为 f(2?)?2，则不等式组?1?f(x)?2?◆答案：???2,8?2??

★解析：由f(x)为偶函数及在区间?0,1?上严格递减知，f(x)在??1,0?上递增，结合周期性知，f(x)在?1,2?上递增，又f(??2)?f(?)?1，f(8?2?)?f(?2?)?f(2?)?2， 所以不等式等价于f(??2)?f(x)?f(8?2?)，又1???2?8?2??2 所以??2?x?8?2?，即不等式的解集为???2,8?2??

2018A，B 9、（本题满分16分）

?log3x?1,0?x?9已知定义在R上的函数f(x)为f(x)??，设a,b,c是三个互不相同的

4?x,x?9??实数，满足f(a)?f(b)?f(c)，求abc的取值范围。

★解析：不妨设a?b?c，由于f(x)在?0,3?上递减，在?3,9?上递增，在?9,???上递减，且f(3)?0，

f(9)?1，结合图像知：a??0,3?，b??3,9?，c??9,???，且f(a)?f(b)?f(c)??0,1?。

由f(a)?f(b)得log3a?log3b?2，即ab?9，此时abc?9c，

又f(c)?4?c，由0?4?c?1得c??9,16?，所以abc?9c??81,144?。

2018B 7、设f(x)是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间?1,2?上严格递减，且满足f(?)?1，

?0?x?1f(2?)?0，则不等式组?的解集为

?0?f(x)?1◆答案：?2??6,4???

★解析：由f(x)为偶函数及在区间?1,2?上严格递减知，f(x)在??2,?1?上递增，结合周期性知，

f(x)在?0,1?上递增，又f(4??)?f(?)?1，f(2??6)?f(2?)?0，所以不等式等价于f(2??6)?f(x)?f(4??)，又0?2??6?4???1，即不等式的解集为?2??6,4???.

2017A1、设f(x)是定义在R上函数，对任意的实数x有f(x?3)?f(x?4)??1，又当0?x?7时，f(x)?log2(9?x)，则f(?100)的值为 ◆答案： ?1 2★解析：由条件知，f(x?7)f(x)??1，即f(x?7)f(x?14)??1，故f(x)?f(x?14)，即函数f(x)的周期为14，所以f(?100)?f(?2)??

2017B 3、设f(x)是定义在R上的函数，若f(x)?x是奇函数，f(x)?2是偶函数，则f(1)的值为 ◆答案：?2x11?? f(5)27 42★解析：由条件知，f(1)?1??(f(?1)?(?1))??f(?1)?1，f(1)?2?f(?1)?两式相加消去f(?1)，可知：2f(1)?3??

1， 217，即f(1)??. 242016A 3、正实数u，v，w均不等于1，若loguvw?logvw?5，logvu?logwv?3，则logwv的值为 ◆答案：

4 5★解析：令loguv?a，logvw?b，则

11，logwv?，loguvw?loguv?loguv?logvw?a?ab ab115条件化为a?ab?b?5，??3，由此可得ab?，因此

ab4logvu?logwu?logwv?logvu??

4． 52016A 10、（本题满分20分）已知f(x)是R上的奇函数，f(1)?1，且对任意x?0，均有

x1111111)?xf(x)。求f(1)f()?f()f()?f()f()???f()f()的值。 x?110029939850511★解析：设an?f()(n=1，2，3，…），则a1?f(1)?1．

n1?xx1k?1，及f(x)为奇函数．可?在f()?xf(x)中取x??(k?N*)，注意到

1x?1k?1x?1k??1kf(知

f(11111)??f(?)?f()……………………5分 k?1kkkkn?1ak?11ak?1n?111?，从而an?a1?????即．……………………10分 akkak(n?1)!k?1k?1k因此

?aaii?150101?i4911????

(i?1)!(100?i)!i!?(99?i)!i?1i?050149i149i1129899?i99?C99?(C99?C99)???2?……………………20分 ??99!i?099!i?099!299!

2015A1、设a、b为两不相等的实数，若二次函数f(x)?x?ax?b满足f(a)?f(b)，则f(2)的值为 ◆答案：4

★解析：由己知条件及二次函数图像的轴对称性，可得

2a?ba??，即2a?b?0，所以22f(2)?4?2a?b?4．

2015A 9、（本题满分16分）若实数a,b,c满足2?4?2，4?2?4，求c的最小值。 ★解析：将2,2,2分别记为x,y,z，则x,y,z?0．

由条件知，x?y?z,x?y?z，故z?y?x?(z?y)?z?2yz?y．8分

因此，结合平均值不等式可得，

2222222224abcabcabcy4?y111133221132y?z??(2y??)??3??2．12分 22y4yy4yy411332当2y?，即y?3时，z的最小值为32（此时相应的x值为32，符合要求）．

y44235 由于c?log2z，故c的最小值log2(32)?log23?．16分

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2016B 4、已知f(x),g(x)均为定义在R上的函数，f(x)的图像关于直线x?1对称，g(x)的图像关于点(1,?2)中心对称，且f(x)?g(x)?9?x?1，则f(2)g(2)的值为

◆答案：2016

★解析：由条件知f?0??g?0??2, ① f?2??g?2??81?8?1?90. ②

x3由f?x?,g?x?图像的对称性，可得f?0??f?2?,g?0??g?2???4,结合①知， f?2??g?2??4?f?0??g?0??2. ③

由②、③解得f?2??48,g?2??42,从而f?2?g?2??48?42?2016.

另解：因为f?x??g?x??9x?x3?1， ① 所以f?2??g?2??90. ②

因为f?x?的图像关于直线x?1对称，所以f?x??f?2?x?. ③

又因为g?x?的图像关于点?1,?2?中心对称，所以函数h?x??g?x?1??2是奇函数，h??x???h?x?，g??x?1??2????g?x?1??2??，从而g?x???g?2?x??4. ④

将③、④代入①，再移项，得f?2?x??g?2?x??9x?x3?5. ⑤ 在⑤式中令x?0，得f?2??g?2??6. ⑥

由②、⑥解得f?2??48,g?2??46.于是f?2?g?2??2016.