奥数 六年级 千份讲义 65 3[1].第二讲 几何 五大模型与构造思想

第二讲

几何——五大模型与构造思

知识点拨

小升初必考知识点——五大模型

随着小升初考察难度的增加，几何问题变得越来越难，一方面，几何问题仍是中学考察的重点，各个学校都更喜欢几何思维好的学生，这样更有利于小学和初中的衔接；另一方面，几何问题由于类型众多，很多知识点需要提前学，这就加快了学生知识的综合运用，而这恰恰是重点中学所期望的．

几何问题是小升初考试的重要内容，分值一般在12～14分(包含1道大题和2道左右的小题)．尤其重要的就是平面图形中的面积计算．几何从内容方面，可以简单的分为直线形面积(三角形、四边形为主)、圆的面积以及二者的综合．其中直线形面积所涉及的五大模型近年来考的比较多，值得我们重点学习．

例题精讲

模型一、三角形的等积变化

我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积?底?高?2

从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图S1:S2?a:b

ABS1aS2b③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S△ACD?S△BCD；

CD

反之，如果S△ACD?S△BCD，则可知直线AB平行于CD． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

等积变化拓展——鸟头模型

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图 ⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)， 则S△ABC:S△ADE?(AB?AC):(AD?AE)

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DAADEEB

图⑴ 图⑵

【例 1】 (2008年四中考题)如右图，AD?DB，AE?EF?FC，已知阴影部分面积为5平方厘米，

?ABC的面积是 平方厘米．

BDCBCAEFC【巩固】 图中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍，EF的

长是BF 长的3倍．那么三角形AEF的面积是多少平方厘米？

AEF

【巩固】 如图，在长方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果AB?24厘米，BC?8厘

米，求三角形ZCY的面积．

BDCDZAYCB

【巩固】 如图，在三角形ABC中，BC?8厘米，高是6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，那么

三角形EBF的面积是多少平方厘米？

AEBFC

【例 2】 (2009年第七届”希望杯”二试六年级)如图，在三角形ABC中，已知三角形ADE、三角形DCE、

三角形BCD的面积分别是89，28，26．那么三角形DBE的面积是 ．

BDAEC

【例 3】 如右图，正方形ABCD的面积是20，正三角形?BPC的面积是15，求阴影?BPD的面积．

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APDB

【巩固】 在长方形ABCD内部有一点O，形成等腰?AOB的面积为16，等腰?DOC的面积占长方形

面积的18%，那么阴影?AOC的面积是多少？

DOCC

AB

【例 4】 如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EA?AB，CB?BF，DC?CG，HD?DA，求

四边形ABCD的面积．

HDAECBGF

【巩固】 如图，将四边形ABCD的四条边AB、CB、CD、AD分别延长两倍至点E、F、G、H，

若四边形ABCD的面积为5，则四边形EFGH的面积是 ．

FBCADHGE【例 5】 如图，在△ABC中，延长AB至D，使BD?AB，延长BC至E，使CE?的中点，若△ABC的面积是2，则△DEF的面积是多少？

1BC，F是AC2

AFBD

CE

模型二、任意四边形模型

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

DAS2BS1OS3C

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①S1:S2?S4:S3或者S1?S3?S2?S4②AO:OC??S1?S2?:?S4?S3?

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．

【例 6】 (2007年人大附中考题)如图，边长为1的正方形ABCD中，BE?2EC，CF?FD，求三角

形AEG的面积．

AGDFBEC

【例 7】 如图，已知正方形ABCD的边长为10厘米，E为AD中点，F为CE中点，G为BF中点，

求三角形BDG的面积．

A

ED

FG

【例 8】 (2008年清华附中入学测试题)如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积

为 ．

BCADBC

【例 9】 如图，在?ABC中，已知M、N分别在边AC、BC上，BM与AN相交于O,若?AOM、

?ABO和?BON的面积分别是3、2、1，则?MNC的面积是 ．

AMOCBN

模型三、相似三角形

(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型

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