AEAFDDBFGECADAEDEAF???ABACBCAG； ①
22S：S?AF:AG△ADE△ABC②．
BGC
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；
⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．
相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．
【例 10】 在图中的正方形中，A，B，C分别是所在边的中点，VCDO的面积是VABO面积的几
倍？
CBOAD
【例 11】 (2008年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)如图，四边形ABCD和
EFGH都是平行四边形，四边形ABCD的面积是16，BG:GC?3:1，则四边形EFGH的面积?________．
AFBGEHCD【例 12】 (2008年101中学考题)图中的大小正方形的边长均为整数(厘米)，它们的面积之和等于
52平方厘米，则阴影部分的面积是 ．
ABCGD
【例 13】 (清华附中入学试题)正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的
中点，四边形BGHF的面积是 平方厘米．
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ADEGHF模型四、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：
AS2aS1OS3B22S:S?a:b13①
22S:S:S:S?a:b:ab:ab； 1324②
BC
DS4bC
?a?b?． ③S的对应份数为
梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)
【例 14】 如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG的面积是11，三
角形BCH的面积是23，求四边形EGFH的面积．
AGDFBHC2E
【巩固】(人大附中入学测试题)如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5，四
边形2的面积为36，则三角形1的面积为________．
123
【例 15】 (2008年”奥数网杯”六年级试题)已知ABCD是平行四边形，BC:CE?3:2，三角形ODE的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是 平方厘米．
AODBCE
【巩固】 右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，
阴影部分的面积是 平方厘米．
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A9214BEDC【例 16】 如图，在正方形ABCD中，E、F分别在BC与CD上，且CE?2BE，CF?2DF，连
接BF、DE，相交于点G，过G作MN、PQ得到两个正方形MGQA和PCNG，设正方形
MGQA的面积为S1，正方形PCNG的面积为S2，则S1:S2?___________．
AQDFMGN
【例 17】 如下图，在梯形ABCD中，AB与CD平行，且CD?2AB，点E、F分别是AD和BC的
中点，已知阴影四边形EMFN的面积是54平方厘米，则梯形ABCD的面积是 平方厘米．
BEPC
AEMBFNDC模型五、燕尾定理
在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么S?ABO:S?ACO?BD:DC．
AEO
上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为?ABO和?ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 通过一道例题证明一下燕尾定理：
如右图，D是BC上任意一点，请你说明：S1:S4?S2:S3?BD:DC
AS2ES3BS1S4DCFBDC【解析】 三角形BED与三角形CED同高，分别以BD、DC为底，
所以有S1:S4?BD:DC；三角形ABE与三角形EBD同高，S1:S2?ED:EA；三角形ACE与
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三角形CED同高，S4:S3?ED:EA，所以S1:S4?S2:S3；综上可得S1:S4?S2:S3?BD:DC.
【例 18】
（2009年清华附中入学测试题）如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、BC上
11的点，且AE?AB，CF?BC，AF与CE相交于G，若矩形ABCD的面积为120，则?AEG34与?CGF的面积之和为 ．
AEGBFCD
【例 19】 (2008年“学而思杯”六年级数学试题)如右图，三角形ABC中，
AF:FB?BD:DC?CE:AE?3:2，且三角形ABC的面积是1，则三角形ABE的面积为______，三角形AGE的面积为________，三角形GHI的面积为______．
AEFHBGIDC
【巩固】 如右图，三角形ABC中，AF:FB?BD:DC?CE:AE?3:2，且三角形GHI的面积是1，求
三角形ABC的面积．
AFIBHGDE
【巩固】 (2009年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级)如图，?ABC中BD?2DA，CE?2EB，
AF?2FC，那么?ABC的面积是阴影三角形面积的 倍．
CADGFHB【巩固】 如图在△ABC中，
△GHI的面积DCEAFB1的值． ???,求
△ABC的面积DBECFA2AEHFIBGDCIC
E
【巩固】 如右图，三角形ABC中，AF:FB?BD:DC?CE:AE?4:3，且三角形ABC的面积是74，
求角形GHI 的面积．
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