专题24 函数综合（角度和距离）
教学重难点
1.掌握用待定系数法求解函数的解析式；
2.培养学生能根据题目中的条件画出大致需要的图形； 3.培养学生分析问题、解决问题的综合能力。
【备注】本部分为知识点回顾总结，时间大概为5分钟左右，注意让学生多画图回顾。 函数基础知识点梳理： 反比例函数y?k(k?0) x一次函数二次函数y?kx?b(k?0) k＞0 y?ax2?bx?c(a?0) a＞0 最高次系 数符号 图象 k＞0 k＜0 k＜0 a＜0 y y OxOx 性质 1.图象经过一、三象限 2.在每一个象限内，y随x的增大而减小。 1.图象经过1.图象经过1.图象经过二、四象限 2.y随x的增大而减小。 1.开口向上 2.对称轴：直x??b 2a 1.开口向下 2.对称轴：直x??b2a二、四象限 一、三象限 2.在每一象限内，y随x的增大而2.y随x的增大而增大。 3.顶点坐标：3.顶点坐标：b4ac?b2b4ac?b2(?，?)(?，?)2a4a2a4a增大。
函数综合题目考点分析：
1.求解函数解析式，以二次函数为主；
2.求解相关点的坐标，二次函数中一般考察求对称轴、顶点坐标；
3以函数为背景，考察相似、等腰、相切、平行四边形、面积等相关知识点；该类题型综合性很强，需
要及时画图观察。
1.（2020青浦区一模） 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y?x?bx?c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2，点A的坐标为（1，0）．
（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），联结PC．当∠PCB=∠ACB时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于y轴的方向向下平移，平移后的抛物线的顶点为点D，点P关于x轴的对应点为点Q，当OD⊥DQ时，求抛物线平移的距离．
2
【整体分析】
（1）用待定系数法即可求得抛物线的表达式，利用顶点公式即可求得抛物线的顶点坐标； （2）过点P作PN⊥x轴，过点C作CM⊥PN，交NP的延长线于点M，由点B、C的坐标得△OBC为等腰直角三角形，利用等量代换证得∠OCA=∠PCM，利用这对角的正切函数得到MC=3PM，设PM=a，则MC=3a，PN=3-a，得P（3a，3-a）代入抛物线的表达式，即可求得答案；
（3）设D的坐标为（2，?1?m），过点D作直线EF∥x轴，交y轴于点E，交PQ的延长线于点F，利用∠OED=∠QFD=∠ODQ=90°，证得∠EOD=∠QDF，再根据其正切函数列出等式即可求得答案.
【满分解答】
（1）∵A的坐标为（1，0），对称轴为直线x=2，∴点B的坐标为（3，0） 将A（1，0）、B（3，0）代入y?x2+bx?c，得
?1?b?c?0，?b??4， 解得：? ?9?3b?c?0.c?3.??所以，y?x2?4x?3．
当x=2时，y?22?4?2+3=?1 ∴顶点坐标为（2，-1） ．
（2）过点P作PN⊥x轴，垂足为点N．过点C作CM⊥PN，交NP的延长线于点M．
∵∠CON=90°，∴四边形CONM为矩形． ∴∠CMN=90°，CO= MN． ∵y?x2?4x?3，∴点C的坐标为（0，3）
， ∵B（3，0）∴OB=OC． ∵∠COB=90°，
∴∠OCB=∠BCM = 45°， 又∵∠ACB=∠PCB，
∴∠OCB-∠ACB =∠BCM -∠PCB，即∠OCA=∠PCM． ∴tan∠OCA= tan∠PCM． ∴
1PM?． 3MC设PM=a，则MC=3a，PN=3-a． ． ∴P（3a，3-a）将P（3a，3-a）代入y?x2?4x?3，得
?3a?2?12a?3?3?a．
111116，a2=0（舍）．∴P（，）．
9932解得a1=（3）设抛物线平移的距离为m．得y??x?2??1?m， ． ∴D的坐标为（2，?1?m）
过点D作直线EF∥x轴，交y轴于点E，交PQ的延长线于点F．
∵∠OED=∠QFD=∠ODQ=90°，
∴∠EOD+∠ODE = 90°，∠ODE+∠QDF = 90°， ∴∠EOD=∠QDF， ∴tan∠EOD = tan∠QDF．
DEQF?． ∴
OEDF16?m?1?m29?． ∴
11m?1?231解得m?．
51所以，抛物线平移的距离为．
5【点睛】本题是二次函数与几何的综合题，涉及的知识有：待定系数法、矩形的判定和性质、三角形函数等，综合性强，构建辅助线、正确表示出各点坐标是解题关键.
2.（2019宝山二模）如图，已知对称轴为直线轴交于C点，其中
.
的抛物线
与轴交于、两点，与
（1）求点B的坐标及此抛物线的表达式；
（2）点D为y轴上一点，若直线BD和直线BC的夹角为15o，求线段CD的长度； （3）设点为抛物线的对称轴
上的一个动点，当
为直角三角形时，求点的坐标.
【整体分析】
（1）将A、C坐标代入抛物线，结合抛物线的对称轴，解得a、b、c的值，求得抛物线解析式; （2）求出直线BC的解析式为DO即可;
（3）设点P的坐标，分别以B、C、P为直角顶点，进行分类讨论，再运用勾股定理得到方程式进行求解.
【满分解答】
解：（1）根据对称轴x=-1,A（1,0），得出B为(-3,0) 依题意得：∴抛物线的解析式为
（2）∵对称轴为∴直线BC的解析式为
，解之得：
.
，且抛物线经过
，∴
，
，得出∠CBA=45°再求出∠DBA=30°或∠DBA=60°,再求出
. ∠CBA=45°
∵直线BD和直线BC的夹角为15o， ∴∠DBA=30°或∠DBA=60° 在△BOD，∴DO=
或
，∴CD=
，又
，BO=3 或，
. ，
（3）设
∴，
①若点为直角顶点，则②若点为直角顶点，则③若点为直角顶点，则
，
. 或
或
，，
即：即：
即：解之得：
解之得：
解之得：
，
，
综上所述的坐标为或.
【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质和二次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质和二次函数的图象与性质是解题的关键.
3.（2019嘉定区二模）在平面直角坐标系点
、
，与轴的交点为点．
中，如图，抛物线
（、是常数）经过
（1）求此抛物线的表达式； （2）点为轴上一点，如果直线
和直线
的夹角为15o，求线段
的长度；
（3）设点为此抛物线的对称轴上的一个动点，当△为直角三角形时，求点的坐标．
【整体分析】
（1）将点A和点B坐标代入解析式求解可得；
（2）先求出点C坐标，从而得出OC=OB=3，∠CBO=45°，据此知∠DBO=30°或60°，依据DO=BO?tan∠DBO求出得DO＝
或3
，从而得出答案；
，知BC2=18，PB2=4+t2，PC2=t2-6t+10，再分点B、点C和点P （3）设P（-1，t）情况分别求解可得．
【满分解答】
（1）依题意得：解得：
与轴交点为点
，又点的坐标是
，
直角顶点三种
∴抛物线的表达式是
（2）∵抛物线∴点的坐标是∴
∴在直角△∴
或
或中，，∴
或
.
得：对称轴是直线
，又点的坐标是
，点的坐标是，即：即：即：
， 解之得：解之得：解之得：
， ，
（3）由抛物线根据题意：设∴
，
①若点为直角顶点，则②若点为直角顶点，则③若点为直角顶点，则
，
综上所述的坐标为
. 或
或或.
【点睛】本题是二次函数的综合题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质、两点间的距离公式及直角三角形的性质等知识点．
4.如图，已知抛物线y??x?bx?c过点A?2,0?，对称轴为y轴，顶点为P。
2（1）求该抛物线的表达式，写出其顶点P的坐标，并画出其大致图像；
（2）把该抛物线先向右平移m个单位，再向下平移m个单位（m?0），记新抛物线的顶点为B，与y轴的交点为C。
①试用m的代数式表示点B、点C的坐标；②若?OBC?45?，试求m的值。
【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件： 1.点的坐标：A?2,0?，点P坐标可求； 2二次函数经过 【满分解答】
(1)∵抛物线y??x?bx?c过点A(2，0)，对称轴为y轴 ∴ b=0，c=4 ∴y??x?4
22P(0,4)
大致图像如图。
(2)①∵抛物线先向右平移m个单位，再向下平移m个单位(m＞0)
∴B(m,4?m)
y??(x?m)2?4?m
所以C(0,?m?m?4)
②由已知，?OPB?45o，又?OBC?45o ∴?OCB与?OBP相似。
i）当点C在y轴正半轴，即?m2?m?4＞0时
2BO2?OC?OP
∵BO2?2m2?8m?16 OC??m2?m?4 OP=4
解得m1?0(舍去)m2?2 3 ii)当点C在y轴负半轴，点?m2?m?4＜0时
BC2?OC?CP
∵ BC?m?m,OC?m?m?4,CP?m?m 解得m1?0（舍去）
22422m2,3?1?3（负根舍去）
∴ m?1?3
5.已知A1、A2、A3是抛物线y?12x上的三点，它们相应的横坐标为连续偶数?n?2?、n、?n?2?4（其中n?2），直线A1B1、A2B2、A3B3分别垂直x轴于点B1、B2、B3，直线A2B2交直线A1A3于点C。
（1）当n?4时，如图l，求线段CA2的长； （2）如图2，若将抛物线y?求线段CA2的长；
（3）若将抛物线y?12，其他条件不变，x改为抛物线y?x2?c（其中c是常数，且c?0）
412，其他条件不变，x'改为抛物线y?ax2?c（其中a、c是常数，且a?0）
4试猜想线段CA2的长，并直接写出结果．（结果用a、c表示）。
【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.点的坐标：A1、A2、A3、B1、B2、B3的坐标都可以用含n的代数式表示； 2.点A1、A2、A3相应的横坐标为连续偶数?n?2?、n、?n?2?（其中n?2）；
二.当n?4时，如图l，求线段CA2的长：代入计算；
方法一：.利用直线方程求解，点C在直线A1A3上，利用相关点的坐标计算求解； 方法二：利用题型中位线求解，CB2为梯形A1B1B3A3的中位线，则 CA2?1(A1B1?A3B3)?A2B2 2 三.当二次函数方程变化时，求线段CA2的长：同理根据前面一小问可得。 四.当二次函数方程变化时，猜想线段CA2的长：同理根据前面一小问可得。
【满分解答】
(1)解法一：∵当n?4时，A1、A2、A3三点的横坐标依次为2、4、6， ∴可求A1 (2，1)，A2 (4，4)，A3 (6，9) （3分）
?1?2k?b?k?2设直线A1A3的解析式为y?kx?b?k?0?，∴?解得?
9?6k?bb??3??∴直线A1A3的解析式为y?3x?3． ∴可求C(4，5)
∴CA2?5?4?1．
解法二：∵当n?4时，A1、A2、A3三点的横坐标依次为2、4、6，
1211?2?1，A2B2??42?4，A3B3??62?9 44411可证CB2??A1B1?A3B3????1?9??5
22∴A1B1?∴CA2?CB2?A2B2?5?4?1
(2)解法一，∵A1、A2、A3三点的横坐标为连续偶数（n?2）、n、(n?2)， ∴可求A1n?2,n2?4n?4?c ，A2n,n2?c，A3n?2,n2?4n?4?c
2???n?2?k?b?n?4n?4?c设直线A1A3的解析式为y?kx?b?k?0?， ∴? 2???n?2?k?b?n?4n?4?c???????k?2n解得： ? 2b??n?4?c?2∴直线A1A3的解析式为y?2nx?n?4?c
∴可求Cn,n2?4?c ∴CA2?n2?4?c?n2?c?4
解法二：A1、A2、A3三点的横坐标为连续偶数（n?2）、n、(n?2)，
2则A1B1??n?2??c，A2B2?n?c，A3B3??n?2??c
????22可证：CB2?11?22?n2?4?c AB?AB??1133???n?2??c??n?2??c??22∴CA2?CB2?A2B2?4．
(3)CA2?4a?a?0?
21.（2019静安区二模）.在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y?ax?bx?c(a?0)经过原
点，与x轴的另一个交点为A，顶点为P(?3,4).
（1）求这条抛物线表达式；
（2）将该抛物线向右平移，平移后新抛物线顶点为Q，它与y轴交点为B，联结PB、PQ，设点B的纵坐标为m，用含m的代数式表示?BPQ的正切值；
（3）联结AP，在（2）的条件下，射线PB平分?APQ，求点B到直线AP的距离. 【整体分析】
?1?可设顶点式解析式，把点O?0,0?代入，求得a，从而得抛物线的解析式；
?2?画图，把?BPQ放到直角三角形中来考虑，分别用点P、点H、点B的相关坐标来表示这个直角
三角形中的直角边长即可求解；
求出点A坐标，利用点P坐标，得出AP长度，利用角平分线即PQ//x轴，?3?设PB与x轴交于点M，
推得?AMP??APB，从而得出AP和AM的长度；
求出直线PB得解析式，从而求得点B的坐标，进而求出BH的长度，再利用角平分线的性质定理即可得点B到直线AP的距离就等于BH的长度．
【满分解答】
的2解：?1?设抛物线表达式为：y?a(x?3)?4?a?0? 把O?0,0?代入得a??4， 94?抛物线的表达式：y??(x?3)2?4．
9?2?设PQ与y轴交点为H．
QP??3,4?，B?0,m?，
?PH?3，BH?4?m，
在RtVPBH中，tan?BPQ?BHPH?4?m3． 故?BPQ的正切值为：
4?m3．
?3?设PB与x轴交于点M． 由?1?得点A坐标为??6,0?． 又P??3,4?，
?AP?5．
Q射线PB平分?APQ，
??APB??BPQ．
QPQ//x轴，??AMP??BPQ，
??AMP??APB，
?AP?AM?5，
?M??1,0?．
设直线PB为y?kx?b?k?0?，把点P??3,4?，M??1,0?代入，得：?点B为?0,?2?．
?BH?4?m?4???2??6．
Q射线PB平分?APQ，PH?PQ，
?点B到直线AP的距离为6．
y?2x?2，
【点睛】本题是二次函数的综合题，分别考查了待定系数法求解析式、构造直角三角形求三角函数值、利用点的坐标表示相关线段长度，以及角平分线的性质定理来得点到直线的距离等知识点，综合性较强，难度较大．
2.如图，已知二次函数y?ax2?bx?3的图像经过点A(m,0)和点B(4,3)，与y轴相交于点C，顶点为D，且tan?OCA?3。
（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）设点A关于y轴的对称点为E，联结DE、CD，求?CDE的度数。
【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件： 1.点的坐标：A(m,0)，B(4,3)，C(0,3)； 2.二次函数经过A(m,0)，B(4,3)，C(0,3)三点； 3.其它已知条件：tan?OCA?3。
二.求解二次函数的解析式：先利用tan?OCA?3求解A点坐标，再将点A(m,0)、B(4,3)的坐标代入函数解析式，解方程组可得。 三.求?CDE的度数： 1.写出点C、D、E的坐标；
2.判定?CDE的形状：可得?CDE为等腰直角三角形 3.求解?CDE的度数。
【满分解答】
（1）根据题意，得点C的坐标为（0,3）。 在Rt?AOC中，
∵tan∠OAC=3，∴OA=1，即点A的坐标为（1,0）．
?0?a?b?3,?a?1,∴? 解得?
3?16a?4b?3.b??4.??∴所求的函数解析式为y?x2?4x?3． 顶点D的坐标为（2,-1）．
（2）根据题意，得点E的坐标为（-1,0），联结CE。 ∵CE?10，DE?10，CD?25，∴CE2?DE2?CD2。 ∴?CDE是等腰直角三角形。 ∴∠CDE=45°。
3.如图，已知抛物线与x轴交于点A(?2，0)，与y轴交于点C(0，8)。 0)，B(4，（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；
（2）设直线CD交x轴于点E；在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由。
【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件： 1.点的坐标：A(?2，0)，C(0，8)； 0)，B(4，2.二次函数经过A(?2，0)，C(0，8)三点。 0)，B(4，二.求解二次函数解析式和顶点坐标：将A(?2，0)、C(0，8)三点代入函数解析式，解方程组；0)、B(4，再利用配方法求顶点坐标。 三.求解点P的坐标：
1.条件：点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离；
2.利用直线交点情况求解点E、F的坐标，可得E(?8,0)、F(2,10)；
3.设OB的垂直平分线交x轴于点H，直线CD交线段OB的垂直平分线于点F，过点P作PQ?CD交CD于点Q； 4.设P(2,m)，利用Rt?FPQ∽Rt?FEH求解点P的坐标；在计算求解。
【满分解答】
（1）设该抛物线的解析式为y?ax?bx?c， 由抛物线与y轴交于点C(0,8),可知c?8
即抛物线的解析式为y?ax?bx?8．
22?4a?2b?8?0把A(?2， 解得a??1,b?2. 0)，代入, 得?0)，B(4，16a?4b?8?0?∴ 抛物线的解析式为y??x?2x?8 ∴ 顶点D的坐标为(1,9)。
（2）设OB的垂直平分线交x轴于点H，直线CD交线段OB的垂直平分线于点F， 直线CD的解析式为y?kx?b(k?0)
∴ b?8,k?1,即直线CD的解析式为y?x?8
∴ 点E坐标为(?8,0) , 点F坐标为 (2,10),EH?FH?10，EF?102 假设线段OB的垂直平分线上存在点P，那么令点P坐标为 (2,m)， 过点P作PQ?CD交CD于点Q，则有OP?PQ?由题意知，Rt?FPQ∽Rt?FEH
24?m2，PF?10?m
PQFP4?m210?m∴．∴ ??EHEF10102解得 m??83?10 ∴ 点P坐标为 (2,?83?10)
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