.
∴
解得a2=12，b2=4，
，
∴椭圆C的方程为
（2）∵直线l的方程为x=﹣2
． ，
设P（﹣2，y0），，
当y0≠0时，设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意知x1≠x2，
联立，
∴，
∴，
又∵PM=PN，∴P为线段MN的中点，
∴直线MN的斜率为，
又l′⊥MN，∴l′的方程为，
即，
∴l′恒过定点
当y0=0时，直线MN为
．
，
此时l′为x轴，也过点
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，
.
综上，l′恒过定点．
21．已知函数f（x）=m（x﹣1）2﹣2x+3+lnx（m≥1）． （1）求证：函数f（x）在定义域内存在单调递减区间[a，b]；
（2）是否存在实数m，使得曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与曲线C有且只有一个公共点？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．颖刍莖蛺饽亿顿裊赔泷涨负。 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）令f′（x）=0，因为△＞0，所以方程存在两个不等实根，根据条件进一步可得方程有两个不等的正根，从而得到函数f（x）存在单调递减区间；濫驂膽閉驟羥闈詔寢賻減栖。 （2）先求出函数y=f（x）在点P（1，1）处的切线l的方程，若切线l与曲线C只有一个公共点，则只需方程f（x）=﹣x+2有且只有一个实根即可．銚銻縵哜鳗鸿锓謎諏涼鏗穎。 【解答】（1）证明：令f′（x）=0，得mx2﹣（m+2）x+1=0． （*）
因为△=（m+2）2﹣4m=m2+4＞0，所以方程（*）存在两个不等实根，记为a，b（a＜b）． 因为m≥1，所以a+b=＞0，ab=＞0，
所以a＞0，b＞0，即方程（*）有两个不等的正根，因此f′（x）≤0的解为[a，b]． 故函数f（x）存在单调递减区间；
（2）解：因为f′（1）=﹣1，所以曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l为y=﹣x+2． 若切线l与曲线C只有一个公共点，则方程m（x﹣1）2﹣2x+3+lnx=﹣x+2有且只有一个实根．
显然x=1是该方程的一个根．
令g（x）=m（x﹣1）2﹣x+1+lnx，则g′（x）=．
当m=1时，有g′（x）≥0恒成立，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增， 所以x=1是方程的唯一解，m=1符合题意．
当m＞1时，令g′（x）=0，得x1=1，x2=，则x2∈（0，1），易得g（x）在x1处取到极小值，在x2处取到极大值．挤貼綬电麥结鈺贖哓类芈罷。 所以g（x2）＞g（x1）=0，又当x→0时，g（x）→﹣∞，所以函数g（x）在（0，）内也有一个解，即当m＞1时，不合题意．赔荊紳谘侖驟辽輩袜錈極嚕。 综上，存在实数m，当m=1时，曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与C有且只有一个公共点．
[选修4-1：几何证明选讲] 22．选修4﹣1：几何证明选讲
如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B、C两点，D是OC的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，若PA=2（Ⅰ）求∠AEC的大小； （Ⅱ）求AE的长．
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，∠APB=30°．塤礙籟馐决穩賽釙冊庫麩适。 .
【考点】与圆有关的比例线段． 【分析】（Ⅰ）先连接AB，根据切线的性质以及已知条件得到：∠AOB=60°；再结合OA=OB以及∠ABC=∠AEC即可得到结论；裊樣祕廬廂颤谚鍘羋蔺递灿。 （Ⅱ）分两段，先根据直角三角形中的有关性质求出AD，再结合相交弦定理求出DE，二者相加即可． 【解答】解：（Ⅰ）连接AB，因为：∠APO=30°，且PA是⊙O的切线， 所以：∠AOB=60°； ∵OA=OB
∴∠AB0=60°； ∵∠ABC=∠AEC ∴∠AEC=60°．
（Ⅱ）由条件知AO=2，过A作AH⊥BC于H，则AH=在RT△AHD中，HD=2，∴AD=∵BD?DC=AD?DE， ∴DE=
．
=
．
，
∴AE=DE+AD=．
[选修4-4：极坐标与参数方程] 23．选修4﹣4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系x0y中，动点A的坐标为（2﹣3sinα，3cosα﹣2），其中α∈R．在极坐标系（以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线C的方程为ρcos（θ﹣
嫗盤紲嘱珑詁鍬齊驁絛鯛。 ）=a．仓（Ⅰ）判断动点A的轨迹的形状；
（Ⅱ）若直线C与动点A的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a的值． 【考点】圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程．
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.
【分析】（Ⅰ）设动点A的直角坐标为（x，y），则，利用同角三角函数的基
本关系消去参数α可得直角坐标方程，从而得到点A的轨迹．绽萬璉轆娛閬蛏鬮绾瀧恒蟬。 （Ⅱ）把直线C方程为直角坐标方程，由题意可得直线C与圆相切，故有圆心到直线的距离等于半径，由此解得 a 的值．骁顾燁鶚巯瀆蕪領鲡赙骠弒。 【解答】解：（Ⅰ）设动点A的直角坐标为（x，y），则的基本关系消去参数α可得，
（x﹣2）2+（y+2）2=9，点A的轨迹为半径等于3的圆． （Ⅱ）把直线C方程为ρcos（θ﹣
）=a化为直角坐标方程为
，利用同角三角函数
+=2a，
由题意可得直线C与圆相切，故有 =3，解得 a=3 或a=﹣3．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|． （1）若a=2，解不等式f（x）≥2；
（2）若a＞1，?x∈R，f（x）+|x﹣1|≥1，求实数a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法；函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题． 【分析】（1）通过分类讨论，去掉绝对值函数中的绝对值符号，转化为分段函数，即可求得不等式f（x）≥2的解集；瑣钋濺暧惲锟缟馭篩凉貿锕。 （2）通过分类讨论，去掉绝对值函数中的绝对值符号，转化为分段函数，根据一次函数的单调性可得函数在R上先减后增，鎦诗涇艳损楼紲鯗餳類碍穑。 得到函数的最小值为f（1）+|1﹣1|=f（1）=a﹣1，而不等式f（x）+|x﹣1|≥1解集为R即a﹣1≥1恒成立，解之即可得到实数a的取值范围．栉缏歐锄棗鈕种鵑瑶锬奧伛。 【解答】解：（1）当a=2时，由于f（x）≥2，
则①当x＜1时，﹣2x+3≥2，∴x≤； ②当1≤x≤1时，1≥2，无解； ③当x＞2时，2x﹣3≥2，∴x≥．
综上所述，不等式f（x）≥2的解集为：（﹣∞，]∪[，+∞）；
，
（2）令F（x）=f（x）+|x﹣1|，则
所以当x=1时，F（x）有最小值F（1）=a﹣1，
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，
.
只需a﹣1≥1，解得a≥2，所以实数a的取值范围为[2，+∞）．
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