高中数学奥赛系列辅导材料 

例4设二次函数而且若点上。

在

的图象上，则点

的图象以y轴为对称轴，已知

在函数

的图象

，

（1）求的解析式

（2）设，问是否存在实数，使内是减

函数，在内是增函数。

分析由已知条件的解析式不难求得，欲求，可按定义分别求出

内分别是减函数，增函数的

可。

的范围，求出它们的交即

解（1）因的对称轴为y轴，故，从而。

设在

的图象上，即

的图象上，即

。

，则点在

故，因此，。

（2）由（1）可得。

设，则

要使故只要

在内为减函数，只需，所以

。

，但，

然而当时，，因此，我们只要，

在，内是减函数。

同理，当时，内是增函数。

综上讨论，存在唯一的实数，使得对应的满足要求。

例5奇函数的定义域为R，当时，，设函数

的值域为，，求a，b的值。

分析可先由已知条件写出形讨论

在R上的解析式，再根据二次函数的单调性分情

的最大值和最小值，从而得到关于a、b的方程。

解：是奇函数

时，函数式为

因为与同时存在，

所以

同号分以下情形讨论：

（1）时，由

（2）时，由

（3）时，由

无解

（5）时，由

矛盾

（6），由

与矛盾。

综上分析

说明本题源自第四届“希望杯”第二试解答题，重在考查学生的分类讨论问题能力和运用函数性质的解题能力。

例6函数在定义域中存在

的定义域关于原点对称，但不包括数0，对定义域中的任意实数x，使

，

，且满足以下3个条件。

（1）定义域中的数，，或，则

。

（2），（a是一个正常数）

（3）当0＜x＜2a时，f(x)＞0。

证明（i）f(x)是奇函数；（ii）f(x)是周期函数，并求出其周期；（iii）f(x)在（0，4a）内为减函数。

证：（i）对定义域中的x，由题设知在定义域中存在

，则

使，

∴f(x)为奇函数

（ii）因f(a)=1，∴f(-a)=-f(a)=-1，于是

若f(x)≠0，则

若f(x)=0，则

仍有f(x+4a)=f(x)。

∴f(x)为周期函数，4a是它的一个周期。