高数期末考试
一、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
已知cosxx是f(x)的一个原函数,则?f(x)?cosxxdx?1.
. ?2??12.
limn??n(cosn?cos22n???cos2n?n?)? .
122?xarcsinx?1dx?3. －11?x22 .
二、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 4.
设?(x)?1?x1?x，?(x)?3?33x，则当x?1时（ ）.
（A）?(x)与?(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B）?(x)与?(x)是等价无穷小；
（C）?(x)是比?(x)高阶的无穷小； （D）?(x)是比?(x)高阶的无穷小.
5.
设f(x)?cosx(x?sinx),则在x?0处有( ).
（A）f?(0)?2 （B）f?(0)?1（C）f?(0)?0 （D）f(x)不可导.
6. 若
F(x)??x0(2t?x)f(t)dt，其中f(x)在区间上(?1,1)二阶可导且
f?(x)?0，则（ ）.
（A）函数F(x)必在x?0处取得极大值； （B）函数F(x)必在x?0处取得极小值；
（C）函数F(x)在x?0处没有极值，但点(0,F(0))为曲线y?F(x)的拐点； （D）函数F(x)在x?0处没有极值，点(0,F(0))也不是曲线y?F(x)的拐点。
f(x)是连续函数，且 f(x)?x?2?17.
设0f(t)dt , 则f(x)?(x2x2（A）2 （B）2?2（C）x?1 （D）x?2.
8.
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数y?y(x)由方程ex?y?sin(xy)?1确定，求y?(x)以及y?(0).
求?x710.
?1x(1?x7)dx.
)
11. 12.
?x??xe， x?0设f(x)?? 求2??2x?x，0?x?1? 1?3f(x)dx．
x?A10设函数f(x)连续，，且x?0g?(x)并讨论g?(x)在x?0处的连续性.
g(x)??f(xt)dtlimf(x)，A为常数. 求
13. 求微分方程xy??2y?xlnx满足14. 已知上半平面内一曲线y?y(x)9的解.
四、 解答题（本大题10分）
(x?0)，过点(0,1)y(1)??1，且曲线上任一点
M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线x?x0所围成
面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）
15. 过坐标原点作曲线
y?lnx的切线，该切线与曲线y?lnx及x 轴围
成平面图形D.
(1) 求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积
V.
六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）
16. 设函数
qf(x)在?0,1?上连续且单调递减，证明对任意的q?[0,1]，
1?0f(x)dx?q?f(x)dx0.
??17. 设函数
f(x)在?0,??上连续，且
?0f(x)dx?0，0?f(x)cosxdx?0.
证明：在?0,??内至少存在两个不同的点?1,?2，使f(?1)?f(?2)?0.（提
xF(x)?示：设
?0f(x)dx）
解答
一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)
1、D 2、A 3、C 4、C
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
e35.
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导
x?y) e(1?y??6?1cosx2 ()?cx . 6.2.7. 2. 8.
?.
??coxys(xy)(y? )?xcos(xy)
x?0,y?0，y?(0)??1
767xdx?du 10. 解：u?x y?(x)??eex?yx?y?ycos(xy)原式?1?7u(1?u)(1?u)du?17?(1u?2u?1)du
??17171(ln|u|?2ln|u?1|)?cln|x|?7
2x?xdx2227ln|1?x|?C711. 解：??3?f(x)dx?xd(?e?x?0?3xe10?xdx??10
?0?3)??01?(x?1)dx
?x?x?????xe?e???3?0??2cos?d? (令x?1?sin?)2
12. 解：由f(0)?0，知g(0)?0。
4x1xt?u???2e?13?0f(u)duxg(x)?
g?(x)??0f(xt)dt?x (x?0)
xf(x)??x02f(u)du (x?0)
x?
g?(0)?lim0x?0f(u)dux2?limxf(x)2xx?0?A2
?A2xf(x)??x02f(u)du?A?
limg?(x)?limx?0A2x?0，g?(x)在x?0处连续。
dy13. 解：dx
??2x2y?lnx2
lnxdx?C)?2y?e?xdx(?e?xdx
?13xlnx?19C,?19x?Cx1
xlnx?19x3 ，
四、 解答题（本大题10分）
y(1)??0y?
14. 解：由已知且
y??2?ydx?y0x，
23,将此方程关于x求导得y???2y?y?
2特征方程：r?r?2?0
解出特征根：r1??1,r2?2.
2x其通解为
y?C1e?x?C2e
C2?13
代入初始条件y(0)?y?(0)?1，得
3故所求曲线方程为：
五、解答题（本大题10分）
y?2e?xC1?e2x?13
1x015. 解：（1）根据题意，先设切点为(x0,lnx0)，切线方程：由于切线过原点，解出x0?e1y?lnx0?(x?x0)
，从而切线方程为：
12e?1y?1ex
A?则平面图形面积
?(e0y?ey)dy?
V1?13（2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则
?e2
曲线y?lnx与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2
1V2???(e?e0y)dy2
V?V1?V2??6D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积
六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）
q1qq(5e?12e?3)2
116. 证明：0q?f(x)dx?q?f(x)dx?01?0f(x)dx?q(?f(x)dx?0?qf(x)dx)
?(1?q)?f(x)dx?q?f(x)dx0q
f(?1)?f(?2)?1?[0,q]?2?[q,1]?q(1?q)f(?1)?q(1?q)f(?2)1?故有：
q0
?0f(x)dx?q?f(x)dx0 证毕。
x17.
F(x)?证：构造辅助函数：
?0f(t)dt,0?x??。其满足在[0,?]上连续，在(0,?)上可导。F?(x)?f(x)，且F(0)?F(?)?0
??0?由题设，有
??0f(x)cosxdx??cosxdF(x)?F(x)cosx|?00???sin0x?F(x)dx，
有
?F(x)sin0xdx?0，由积分中值定理，存在??(0,?)，使F(?)sin??0即
F(?)?0
综上可知F(0)?F(?)?F(?)?0,??(0,?).在区间[0,?],[?,?]上分别应用罗尔定理，知存在
?1?(0,?)和?2?(?,?)，使F?(?1)?0及F?(?2)?0，即f(?1)?f(?2)?0.
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