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2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
第一试
一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1. 若a,b,c均为整数且满足(a?b)?(a?c)A．1.B．2. C．3. D．4.
1010?1，则|a?b|?|b?c|?|c?a|?（ B ）
4a?9|b|?6c，2．若实数a,b,c满足等式2a?3|b|?6，则c可能取的最大值为（ C ）
A．0.B．1. C．2. D．3. 3．若a,b是两个正数，且
a?1b?1??1?0,则（C） ba1144A．0?a?b?.B．?a?b?1. C．1?a?b?. D．?a?b?2.
33334．若方程x2?3x?1?0的两根也是方程x4?ax2?bx?c?0的根，则a?b?2c的值为（ A ）
A．－13.B．－9. C．6. D． 0.
5．在△ABC中，已知?CAB?60?，D，E分别是边AB，AC上的点，且?AED?60?，ED?DB?CE，?CDB?2?CDE,则?DCB? ( B )
A．15°.B．20°. C．25°. D．30°.
6．对于自然数n，将其各位数字之和记为an，如a2009?2?0?0?9?11，
a2010?2?0?1?0?3，a1?a2?a3??a2009?a2010?（ D ）
A．28062.B．28065. C．28067. D．28068. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）
?x3?y3?19,221．已知实数x,y满足方程组?则x?y?13.
?x?y?1,2．二次函数y?x?bx?c的图象与x轴正方向交于A，B两点，与y轴正方向交于点C．已知AB?23AC，?CAO?30?，则c?1． 93．在等腰直角△ABC中，AB＝BC＝5，P是△ABC内一点，且PA＝5，PC＝5，则PB＝___10___．
4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放____15___个球.
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第二试（A）
一．（本题满分20分）设整数a,b,c（a?b?c）为三角形的三边长，满足
a2?b2?c2?ab?ac?bc?13，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.
解由已知等式可得
(a?b)2?(b?c)2?(a?c)2?26 ①
令a?b?m,b?c?n，则a?c?m?n，其中m,n均为自然数. 于是，等式①变为m?n?(m?n)?26，即
222m2?n2?mn?13 ②
由于m,n均为自然数，判断易知，使得等式②成立的m,n只有两组：??m?3,?m?1,和? ?n?3.?n?1（1）当m?3,n?1时，b?c?1，a?b?3?c?4.又a,b,c为三角形的三边长，所以b?c?a，即(c?1)?c?c?4，解得c?3.又因为三角形的周长不超过30，即
a?b?c?(c?4)?(c?1)?c?30，解得c?6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.
2525.因此3?c?，所以c可以取值4，5，33（2）当m?1,n?3时，b?c?3，a?b?1?c?4.又a,b,c为三角形的三边长，所以b?c?a，即(c?3)?c?c?4，解得c?1.又因为三角形的周长不超过30，即
a?b?c?(c?4)?(c?3)?c?30，解得c?2323.因此1?c?，所以c可以取值2，3，334，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.
综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11. 二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC中，AB＝AC，∠C的平分线与AB边交于点P，M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点，作MD//AC，交⊙I于点D.证明：PD是⊙I的切线. A证明过点P作⊙I的切线PQ（切点为Q）并延长，交BC于点N. P因为CP为∠ACB的平分线，所以∠ACP＝∠BCP. I又因为PA、PQ均为⊙I的切线，所以∠APC＝∠NPC. Q又CP公共，所以△ACP≌△NCP，所以∠PAC＝∠PNC. 由NM＝QN，BA＝BC，所以△QNM∽△BAC，故∠NMQBMN＝∠ACB，所以MQ//AC.
又因为MD//AC，所以MD和MQ为同一条直线.
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又点Q、D均在⊙I上，所以点Q和点D重合，故PD是⊙I的切线.
三．（本题满分25分）已知二次函数y?x?bx?c的图象经过两点P(1,a)，Q(2,10a). （1）如果a,b,c都是整数，且c?b?8a，求a,b,c的值.
（2）设二次函数y?x?bx?c的图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C.如果关于x的方程x2?bx?c?0的两个根都是整数，求△ABC的面积.
解 点P(1,a)、Q(2,10a)在二次函数y?x?bx?c的图象上，故1?b?c?a，
2224?2a?c?10a，
解得b?9a?3，c?8a?2.
（1）由c?b?8a知??8a?2?9a?3,解得1?a?3.
?9a?3?8a,又a为整数，所以a?2，b?9a?3?15，c?8a?2?14. (2) 设m,n是方程的两个整数根，且m?n.
由根与系数的关系可得m?n??b?3?9a，mn??c?2?8a，消去a，得
9mn?8(m?n)??6，
两边同时乘以9，得81mn?72(m?n)??54，分解因式，得(9m?8)(9n?8)?10.
所以??9m?8?1,?9m?8?2,?9m?8??10,?9m?8??5,或?或?或?
?9n?8?10,?9n?8?5,?9n?8??1,?9n?8??2,1021???m?,m?,m??,???m?1,????9399解得?或?或?或?
?n?2,?n?13,?n?7,?n?2,???399???又m,n是整数，所以后面三组解舍去，故m?1,n?2.
因此，b??(m?n)??3，c??mn??2，二次函数的解析式为y?x?3x?2. 易求得点A、B的坐标为（1,0）和（2,0），点C的坐标为（0,2），所以△ABC的面积为
21?(2?1)?2?1. 2第二试（B）
一．（本题满分20分）设整数a,b,c为三角形的三边长，满足
a2?b2?c2?ab?ac?bc?13，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三
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