本题考查两两独立与相互独立的差异，其要点可参见《数学复习指南》P.401 .
13.. 【分析】 只需求出极限lim?f(x)，然后定义f(1)为此极限值即可.
x?1【详解】 因为
lim?f(x)=lim?[x?1x?1111??] ?xsin?x?(1?x)lim? =
1?1?1?1x?1?(1?x)?sin?x
(1?x)sin?x????cos?x
?sin?x?(1?x)?cos?x =
???x?1lim??2sin?x =?lim 2x?1????cos?x??cos?x?(1?x)?sin?x11? =
1?.
由于f(x)在[,1)上连续，因此定义
f(1)?121?，
使f(x)在[,1]上连续.
【评注】 本题实质上是一求极限问题，但以这种形式表现出来，还考查了连续的概念.在计算过程中，也可先作变量代换y=1-x，转化为求y?0的极限，可以适当简化. 完全类似例题在一般教科书上都可找到，或参见《文登数学全真模拟试卷》P.数学三P.24第三题.
14.. 【分析】 本题是典型的复合函数求偏导问题：g?f(u,v)，
?12?2f?2f122?. u?xy,v?(x?y)，直接利用复合函数求偏导公式即可，注意利用?u?v?v?u2【详解】
?g?f?f?y?x， ?x?u?v?g?f?f?x?y. ?y?u?v22?2g?2f?f2?f2?f?y?2xy?x?故 ，
?u?v?x2?u2?v2?v 9
22?2g?2f?f2?f2?f?x?2xy?y?. 222?v?u?v?y?u?v22?2g?2g22?f22?f所以 ?2?(x?y)2?(x?y)2 2?x?y?u?v =x?y.
【评注】 本题考查半抽象复合函数求二阶偏导.
完全类似例题《数学复习指南》P.171【例7.20,7.22】.
15.. 【分析】 从被积函数与积分区域可以看出，应该利用极坐标进行计算. 【详解】 作极坐标变换：x?rcos?,y?rsin?，有 I?e =e令t?r，则 I??e记 A??222??(xe??D2?y2)sin(x2?y2)dxdy
?r2??2?0d???0resinr2dr.
??0e?tsintdt.
??0e?tsintdt，则
A????0e?tintde?t
?0 =?[esint =??t??e?tcostdt]
0???0costde?t
?t =?[ecost =e因此 A????0??e?tsintdt]
0??1?A.
1(1?e??)， 2 I??e?2(1?e??)??2(1?e?).
【评注】 本题属常规题型，明显地应该选用极坐标进行计算，在将二重积分化为定积分后，再通过换元与分步积分（均为最基础的要求），即可得出结果，综合考查了二重积分、换元积分与分步积分等多个基础知识点.
16.. 【分析】 先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数，注意当x=0时和为1. 求
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出和函数后，再按通常方法求极值.
【详解】
f?(x)??(?1)nx2n?1??n?1?x. 21?x上式两边从0到x积分，得
f(x)?f(0)??由f(0)=1, 得
f(x)?1?t1dt??ln(1?x2). ?01?t22x1ln(1?x2),(x?1). 2令f?(x)?0，求得唯一驻点x=0. 由于
1?x2 f??(x)??, 22(1?x) f??(0)??1?0，
可见f(x)在x=0处取得极大值，且极大值为 f(0)=1.
【评注】 求和函数一般都是先通过逐项求导、逐项积分等转化为可直接求和的几何级数情形，然后再通过逐项积分、逐项求导等逆运算最终确定和函数.
完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P.285数学三模拟试题（五）第八题.
17.. 【分析】 F(x)所满足的微分方程自然应含有其导函数，提示应先对F(x)求导，并将其余部分转化为用F(x)表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程.
【详解】 (1) 由
F?(x)?f?(x)g(x)?f(x)g?(x) =g(x)?f(x)
=[f(x)?g(x)]?2f(x)g(x) =(2e)-2F(x), 可见F(x)所满足的一阶微分方程为
x2222F?(x)?2F(x)?4e2x.
?2dx2dx2x(2) F(x)?e?[4e?e?dx?C]
? =e =e?2x[?4e4xdx?C]
?Ce?2x.
2x 11
将F(0)=f(0)g(0)=0代入上式，得 C=-1. 于是
F(x)?e2x?e?2x.
【评注】 本题没有直接告知微分方程，要求先通过求导以及恒等变形引出微分方程的形式，从题型来说比较新颖，但具体到微分方程的求解则并不复杂，仍然是基本要求的范围.
完全类似例题在文登数学辅导班上介绍过，也可参见《文登数学全真模拟试卷》数学三P.17第三题.
18.. 【分析】 根据罗尔定理，只需再证明存在一点c?[0,3)，使得f(c)?1?f(3)，然后在[c,3]上应用罗尔定理即可. 条件f(0)+f(1)+f(2)=3等价于
f(0)?f(1)?f(2)?1，问
3题转化为1介于f(x)的最值之间，最终用介值定理可以达到目的.
【详解】 因为f(x)在[0，3]上连续，所以f(x)在[0，2]上连续，且在[0，2]上必有最大值M和最小值m，于是
m?f(0)?M， m?f(1)?M， m?f(2)?M. 故
m?f(0)?f(1)?f(2)?M.
3由介值定理知，至少存在一点c?[0,2]，使
f(c)?f(0)?f(1)?f(2)?1.
3 因为f(c)=1=f(3), 且f(x)在[c,3]上连续，在(c,3)内可导，所以由罗尔定理知，必存在
??(c,3)?(0,3)，使f?(?)?0.
【评注】 介值定理、微分中值定理与积分中值定理都是常考知识点，且一般是两两结合起来考. 本题是典型的结合介值定理与微分中值定理的情形.
完全类似例题见《数学复习指南》P.128【例5.2】及P.131的【解题提示】.
19.. 【分析】方程的个数与未知量的个数相同，问题转化为系数矩阵行列式是否为零，而系数行列式的计算具有明显的特征：所有列对应元素相加后相等. 可先将所有列对应元素相加，然后提出公因式，再将第一行的（-1）倍加到其余各行，即可计算出行列式的值.
【详解】 方程组的系数行列式
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